1.9 Стационарное уравнение диффузии. Ток диффузии. Ток рекомбинации.

В основе анализа полупроводниковых приборов лежит решение стационарного уравнения диффузии, являющегося следствием уравнения непрерывности потока (ток=потокзаряд). Для электронов уравнение непрерывности потока имеет вид

(1.31)

dn/dt – скорость изменения неравновесной концентрации электронов,

G – скорость увеличения концентрации электронов за счет термогенерации,

(n-n₀)/_n – скорость уменьшения концентрации электронов за счет рекомбинации,

n₀ – равновесная концентрация электронов,

_n – среднее время жизни электронов,

q – элементарный заряд,

div(j_n) – дивиргенция плотности электронного тока – величина изменения.

Дивергенция (производная по координате) учитывает разность между приходом электронов в элементарный объем извне (втекающий ток) и уходом электронов из объема – вытекающий ток. Аналог – первый закон Кирхгофа – I=0, I(x)=const, dI/dx=0, div(I)=0.

В стационарном режиме dn/dt=0. Пренебрегаем термогенерацией, учитываем ток j_n= j_nдиф (1.27) и в одномерной модели (div(j_n)=dj_n/dx) получим стационарное уравнение диффузии. В этом уравнении учитываются только рекомбинация и диффузия.

(1.32)

Пусть на границе полупроводника р-типа с равновесными концентрациями p₀ и n₀p₀ подерживается граничная концентрация n(0)n₀ и избыточная граничная концентрация n(0)= n(0)n₀.

При n(0)n₀ в приграничном слое поддерживается неравномерность концентраций, вследствие чего:

1. электроны диффундируют в полупроводник,

2. концентрация электронов вследствие рекомбинации уменьшаеется от граничной n(0) до равновесной n₀.

Решение стационарного уравнения диффузии (1.32), которое собственно и учитывает эти два процесса, позволяет получить зависимость концентрации электронов от координаты n=n(x).

Переходим в уравнении (1.32) от полной концентрации n к избыточной n=nn₀, учтем, что d²n/dx²= d²n/dx², и введем параметр

. (1.33)

(1.34)

Линейное однородное уравнение второго порядка имеет характеристическое уравнение к²1/L_n²=0 с корнями к_1,2 = 1/L_n и, следовательно, общее решение

n=n(x)=C₁e^X/Ln+ C₂e^X/Ln

Из граничных условий определим коэффициенты

n()=0  C₁=0, n(0)= C₂.

Распределение избыточной концентрации по координате

n(x)= n(0)e^X/Ln. (1.35)

Распределение полной концентрации по координате

n(x)= n(x)+n₀= n(0)e^X/Ln+n₀. (1.36)

L_n [см] - диффузионная длина- аналог длины свободного пробега в молекулярно –кинетической теории газов. Физический смысл диффузионной длины – на расстоянии L_n неравновесная (избыточная) концентрация уменьшается в е раз. На глубине 3L_n вследствие рекомбинации электронов с дырками избыточная концентрация уменьшается по сравнению с граничной в е³20 раз и практически равна нулю, а полная концентрация равна равновесной n₀. {-расстояние=скорость (аналогD_n)время(аналог _n)}.

Так как электроны имеют экспоненциальное распределение по энергиям (скоростям), то и глубина их проникновения (диффузии) в р-слой за время жизни подчиняется экспоненциально-затухающему закону.

В приграничном слое шириной ≈ 3L_n за счёт рекомбинации с диффундирующими от поверхности электронами концентрация дырок уменьшается. Для поддержания постоянной скорости рекомбинации возникает встречное диффузионное движение дырок или ток рекомбинации.

Зная распределение n(x), можно найти диффузионный ток (1.27):

(1.36)

(1.37)

j(х)

j=const

j_{Р РЕК.}

j_n(0)

j_n(х)

X

0

В соответствии с экспоненциальным уменьшением концентрации n(x), уменьшается и электронный ток диффузии от граничного значения j_n(0) до нуля при x3L_n. Знак минус показывает, что ток направлен из полупроводника к поверхности.

По всему сечею кристалла ток остается постоянным. Электронный ток в слое 3L_n постепенно (за счет рекомбинации) трансформируется в дырочный ток рекомбинации. В глубине полупроводника р-типа при р₀n₀ ток почти полностью дырочный.