3 Застосування закону Біо-Савара-Лапласа для розрахунку магнітного поля на осі кругового струму

Знайдемо напруженість магнітного поля на осі кругового провідника радіусом R, по якому тече струм І. Положення точки задамо висотою h від центра кільця (рис.9.6). Спочатку визначимо напрямок вектора . Для цього виберемо два однакових діаметрально протилежних елементи провідника . Вони створюють у даній точці вектори напруженості , які перпендикулярні до відповідних радіус-векторів і однакові за величиною. Спроектуємо вектори напруженості на осі x і y. З рисунка видно, що , тобто попарно компенсуються. Проекції на вісь у направлені паралельно, тому будемо додавати їх алгебраїчно. Таким чином результуючий вектор направлений вздовж осі кільця у відповідності з правилом правого гвинта: якщо обертати гвинт в напрямку струму, його поступальний рух вздовж осі вказує напрямок вектора напруженості.

По принципу суперпозиції (9.8), враховуючи (9.7), маємо

.

Кут α між вектором та дорівнює 90^о; ; .

. - довжина кола. Одержуємо

; . (9.9)

В центрі кругового струму при h = 0 маємо

; . (9.10)

4 Застосування закону Біо-Савара-Лапласа для розрахунку магнітного поля прямолінійного провідника із струмом

Положення точки відносно провідника задамо перпендикуляром r_o до нього (рис.9.7). Очевидно, що вектори від усіх елементів провідника однаково направлені. Всі вони перпендикулярні до площини, в якій лежать провідник і перпендикуляр r_o. Тому вектори будемо додавати алгебраїчно. Маємо

. (9.11)

Із рисунка видно, що ; . Підстановка в (9.11) після скорочень дає . Тут α₁ і α₂ – кути, під якими видно провідник із точки, в якій розраховується напруженість. Таким чином для прямолінійного провідника із струмом маємо

; . (9.12)

Для прямолінійного нескінченного провідника α₁ =0^о; α₂ = 180^о. Одержуємо

; . (9.13)

5 Взаємодія паралельних прямолінійних провідників із струмом

Розглянемо взаємодію двох нескінченних паралельних прямолінійних провідників із струмами І₁ і І₂, які знаходяться на відстані r_o один від одного. Така взаємодія відбувається через магнітне поле: кожний провідник створює магнітне поле (9.13), яке потім діє на інший провідник з силою Ампера (9.1) (рис.9.8).

. (9.14)

Користуючись правилом правого гвинта та правилом лівої руки, можна впевнитись, що протилежно направлені струми відштовхуються (рис.9.8,а), а однаково направлені – притягуються (рис.9.8,б). Вираз (9.14) дає можливість означити одиницю сили струму в 1А. При І₁ = І₂ =1А, r_o = 1м, μ = 1, μ_о = 4∙π∙10^-7 Гн/м, ℓ = 1м, одержуємо F = 2∙10^-7 Н.

Струм в 1А – це такий струм, який протікаючи по двом паралельним нескінченним провідникам нескінченно малого перерізу розміщених у вакуумі, або в повітрі, викликає силу взаємодії 2∙10^-7Н на кожний метр довжини провідників.

6 Дія магнітного поля на рухомий заряд (сила Лоренца). Рух заряду в магнітному полі

Сила Лоренца – це сила, яка діє на рухомий заряд q у магнітному полі індукцією . Знайдемо її через силу Ампера (9.3). Її можна розглядати як рівнодіючу сил Лоренца, що діють на всі заряди провідника, які мають певну швидкість направленого руху .

;

.

Струм І запишемо

.

Кількість зарядів . Одержуємо

.

, або у скалярній формі . (9.17)

При α = 0^о сила F = 0. На заряд, що летить вздовж магнітного поля воно не діє.

Напрям сили Лоренца визначається як і сила Ампера за правилом лівої руки. Слід звернути увагу, що чотири пальці потрібно направляти по напрямку струму, а не по швидкості заряду. Якщо заряд негативний, то чотири пальці направляють проти швидкості.

Вияснимо, як буде рухатись заряд у магнітному полі? Сила Лоренца перпендикулярна до швидкості, а тому змінює тільки її напрямок і не змінює величину. Тому рух буде рівномірним. Нехай від’ємний заряд q масою m влітає із швидкістю V у магнітне поле індукцією B перпендикулярно до силових ліній (рис.9.10). Силові лінії зобразимо перпендикулярно до площини рисунка від нас. Тоді траєкторія буде зображатись у площині рисунка і буде уявляти собою коло радіусом R. Сила Лоренца надає тілу нормального (доцентрового) прискорення. Із другого закону Ньютона маємо . З другого боку . Прирівнюємо праві частини і знаходимо радіус обертання . (9.18)

Знайдемо період Т обертання, тобто час одного оберту

. (9.19)

Вираз (9.19) показує, що період не залежить від швидкості руху.

Нехай заряд влітає під кутом φ до напрямку магнітного поля (рис.9.11). Розкладемо швидкість на дві складові:- перпендикулярну до індукції і - паралельну їй. Частинка буде одночасно приймати участь у двох рухах: 1) по колу в перпендикулярній до магнітного поля площині; 2) прямолінійному рівномірному вздовж поля. Отже частинка буде рухатись по гвинтовій лінії радіусом

(9.20)

з періодом (9.21)

і шагом . (9.22)