1 курс / Л-3.4 (2) Вимушені коливання

ВИМУШЕНІ КОЛИВАННЯ

ВИМУШЕНІ КОЛИВАННЯ - це коливання які відбуваються під дією зовнішньої періодичної сили

Механічні коливання

Рівняння руху

Компенсувати втрати енергії можна періодичним підведенням енергії до коливальної системи. Для цього достатньо докласти до системи збуджувальну силу, яка періодично змінюється.

Тепер на систему будуть діяти три сили:

ПРУЖНА ПОВЕРТАЛЬНА СИЛА ;

СИЛА ОПОРУ ;

ЗБУДЖУВАЛЬНА СИЛА .

Зауважимо, що кожній силі відповідає свій елемент на схемі. Силі інерції відповідає інерційна маса, пружній силі - пружина, силі опору - пластинка, занурена в посуду з в'язкою рідиною. Для збуджувальної сили передбачено такий елемент: постійний магніт, розміщений у котушці, по якій тече змінний струм.

Згідно з другим законом динаміки

або

Поділивши на m і позначивши:

дістанемо ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ РІВНЯННЯ ВИМУШЕНИХ МЕХАНІЧНИХ КОЛИВАНЬ:

Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння з правою частиною. Перш ніж записати розв'язок цього рівняння, спробуємо уявити собі фізичну картину процесу.

За доволі тривалого впливу періодична зовнішня сила, напевне, змусить систему здійснювати коливання зі своєю частотою. Виконувана цією силою робота компенсує витрати енергії на роботу проти сил опору. Тому слід очікувати, що кінець кінцем буде досягнуто повної компенсації і надалі повна енергія системи вже не змінюватиметься, а буде сталою.

Але в такому разі коливання мають бути незгасаючими. Це станеться, звичайно, не відразу, а через деякий час, який називається ЧАСОМ ПЕРЕХІДНОГО ПРОЦЕСУ. За цей час відбувається перехід від загасаючих коливань до незгасаючих.

Тому й розв'язок диференціального рівняння складається з двох членів -

Перший член

- це частина, яка відповідає загасаючим коливанням, тобто перехідному процесу.

Другий член

- це частина, яка відповідає незгасаючим коливанням, тобто установленому, стаціонарному процесу.

З часом перехідний процес "вимирає", тобто стає набагато менше за Тому залишається тільки рівняння стаціонарного процесу

Отже, система здійснює незагасаючі гармонічні коливання, частота яких дорівнює частоті збуджувальної сили. Рівняння коливань за формою збігаються з рівнянням вільних незгасаючих коливань.

Амплітудні характеристики.

Амплітудними характеристиками називають залежність амплітудних коливань А від частоти ω збуджувальної сили . Амплітуда вимушених коливань визначається за формулою:

Власна частота коливань є сталою величиною. Тоді можна побудувати графіки залежності амплітуди від циклічної частоти для різних дискретних значень коефіцієнта загасання. Кожна крива відповідає фіксованому значенню коефіцієнта загасання коливань β.

З’ясуємо деякі особливості амплітудних характеристик.

Коли частота зовнішньої сили ω→0, то для будь-яких значень β амплітуда буде однією й тією самою:

По суті - це зміщення системи від положення рівноваги під дією сталої неперіодичної сили,яка дорівнює амплітуді збуджувальної сили. Вона називається СТАТИЧНИМ ЗМІЩЕННЯМ.

Коли ω→, то амплітуда коливань прямує до нуля для всіх β. Це означає,що при дуже великій частоті зміни збуджувальної сили система не встигає зміщуватись із положення рівноваги через інертність.

При проміжних частотах амплітуда спочатку зростає, досягає максимуму, а потім зменшується. Особливо різке збільшення амплітуди відбувається, коли відсутні сили опору. Як випливає з формули для амплітуди, якщо ω =, і β = 0 амплітуда прямує до нескінченності. За відсутності сил опору енергія тільки додається до системи. А в разі збігу частоти збуджувальної сили ω з власною не потрібно здійснювати роботу проти сили інерції,через що амплітуда й прямує до нескінченності.

Явище різкого зростання амплітуди в момент збігу частоти збуджувальної сили з власною частотою коливань називається РЕЗОНАНСОМ.

У реальних системах сили опору завжди є,тобто β ≠ 0 і амплітуда має скінченне значення. Частота, за якої амплітуда досягає максимального значення , називається РЕЗОНАНСНОЮ ЧАСТОТОЮ, і її легко знайти за загальним правилом знаходження екстремуму функції:

Резонансна частота залежить від сили опору і менша від власної частоти.

Значення амплітуди в резонансі дістанемо,підставивши значення резонансної частоти у формулу для амплітуди.

Різним значенням коефіцієнта загасання відповідають різні значення добротності. Тому кожній кривій відповідає своє значення добротності. Чим більша добротність, тим вищий і вужчий резонансний пік. Якщо експериментально знайти амплітудні характеристики, то за ними можна визначити добротність. Це робиться так: будується графік залежності квадрата амплітуди від відносної частоти . Проводиться горизонтальна лінія на рівні, який відповідає половині квадрату амплітуди, і вимірюється ширина резонансного піка в цьому місці ∆.

Вона називається ПІВШИРИНОЮ РЕЗОНАНСНОГО ПІКА.

А добротність .

У багатьох галузях техніки ( радіо,акустики )явище резонансу корисне і широко застосовується. Проте в механічних пристроях явище резонансу часто призводить до руйнувань. Тому при конструюванні літальних апаратів підбирають частоти власних коливань коливальних частин далекими від частот, збуджувальних під час роботи двигунів і при обтіканні потоком повітря.

Фазові характеристики

Фазовими характеристиками називають залежність різниці фаз φ між зміщенням і збуджувальною силою від частоти збуджувальної сили ω для дискретних значень коефіцієнта загасання коливань β. Такі характеристики згідно з формулою.

Коли ω=, то φ= для всіх β. Тобто різниця фаз при деяких значеннях коефіцієнта загасання дорівнює .

ЕЛЕКТРИЧНІ КОЛИВАННЯ

Рівняння коливань

Вимушені електричні коливання відбуваються в колі, де крім R, L, C існує ще й джерело струму з періодично змінюваною ЕРС.

ЕРС змінюється за гармонічним законом:

Узагальнений закон Ома:

,

.

Для розглядуваного кола:

Тоді

Поділивши на L і позначивши

дістанемо ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ РІВНЯННЯ ВИМУШЕНИХ ЕЛЕКТРИЧНИХ КОЛИВАНЬ:

Воно точно збігається за формою з диференціальним рівнянням вимушених механічних коливань. Тому збігається і розв’язок :

В електричному колі, яке розглянули, здійснюються незгасаючі коливання заряду. Розв’язок справджується після завершення перехідного процесу.

Амплітудні характеристики

Формула для амплітуди коливань заряду аналогічна формулі для амплітуди механічних коливань

Зображення амплітудної характеристики , тобто залежність амплітуди заряду від частоти джерела L і ємність С залишаються незмінними. Залишається також незмінною власна частота коливань контуру Ці амплітудні характеристики для заряду, звичайно, такі самі, як і для механічних коливань, адже формули збігаються. При має місце СТАТИЧНА АМПЛІТУДА ЗАРЯДУ:

де - це просто той заряд, який нагромаджується на конденсаторі під дією сталої ЕРС що дорівнює .

«Чистий» резонанс виникає, якщо ω =, а R = 0. Амплітуда заряду прямує до нескінченності, бо немає енергії на Джоулеве тепло.

Для довільного значення електричного опору R максимум амплітуди заряду досягається при резонансній частоті, яка дорівнює

=

Або:

де - ХВИЛЬОВИЙ ОПІР.

Максимальна амплітуда заряду в резонансі:

Фазові характеристики для заряду також повністю повторюють фазові характеристики для зміщення механічних коливань.

Фазові характеристики

Різниця фаз між ЕРС джерела змінного струму і коливаннями заряду визначається за формулою