3.Швидкість і прискорення коливань, енергія

ШВИДКІСТЬ ГАРМОНІЧНИХ КОЛИВАНЬ дістанемо, узявши першу похідну від зміщення за часом:

Швидкість також виконує гармонічні коливання з тією самою частотою , що й зміщення, та з амплітудою , яка залежить не тільки від амплітуди зміщення, а й від колової частоти і відрізняється за фазою від зміщення на .

ПРИСКОРЕННЯ ГАРМОНІЧНИХ КОЛИВАНЬ це перша похідна від швидкості, або друга похідна від зміщення за часом

Тобто, прискорення також виконує гармонічні коливання з частотою та амплітудою .

Прискорення і зміщення перебувають, як кажуть у ПРОТИВАЗІ. Це означає, що коли зміщення досягає максимального значення, що дорівнює амплітуді, прискорення також сягає свого максимального, але від'ємного значення. На рисунку ліворуч зображено графіки залежності зміщення, швидкості і прискорення від часу. Початкову фазу зміщення взято такою, що дорівнює нулю.

Обчислимо тепер енергію коливань.

КІНЕТИЧНА ЕНЕРГІЯ

ПОТЕНЦІАЛЬНА ЕНЕРГІЯ дорівнює роботі проти пружної сили:

.

Враховуючи, що k =

На рисунку наведено графіки залежностей і від часу. Бачимо, що період зміни кінетичної і потенціальної енергії удвічі менший за період зміщення.

У процесі коливань відбувається перетворення кінетичної енергії на потенціальну, та навпаки. Коли зміщення дорівнює нулю, то потенціальна енергія дорівнює нулю, а кінетична досягає свого максимального значення:

Коли зміщення досягає свого максимального значення, кінетична енергія дорівнює нулю, а потенціальна досягає свого максимального значення:

ПОВНА МЕХАНІЧНА ЕНЕРГІЯ дорівнює сумі кінетичної і потенціальної енергії:

Як бачимо, повна механічна енергія незгасаючих механічних коливань стала і дорівнює максимальному значенню кінетичної енергії, або максимальному значенню потенціальної енергії.

4. Електричні коливання

Вільні незгасаючі електричні коливання виникають у коливальному електричному контурі, зображеному на рисунку нижче. Контур складається з конденсатора ємністю С і котушки індуктивністю L.

Якщо зарядити конденсатор до значення заряду , а потім замкнути коло коливального контуру перемикачем, то конденсатор почне розряджатися. У колі з'явиться електричний струм і в котушці індуктивності виникне ЕРС самоіндукції Енергія електричного поля конденсатора буде переходити в енергію магнітного поля котушки, і навпаки.

Будуть таким чином відбуватися незгасаючі коливання заряду, якщо енергія контура не розсіюватиметься.

Щоб дістати диференціальне рівняння електричних коливань, скористаємось узагальненим законом Ома для неоднорідного кола:

звідки

= 0.

Тут враховано, що активний опір кола R = 0.

Ємність конденсатора: .

Тоді:

ЕРС самоіндукції де L – індуктивність котушки (контура),

а сила струму

Тоді:

Підставивши вирази для різниці потенціалів і ЕРС у закон Ома, дістанемо

Поділивши рівняння на L і ввівши позначення

дістанемо ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ РІВНЯННЯ ВІЛЬНИХ НЕЗГАСАЮЧИХ ЕЛЕКТРИЧНИХ КОЛИВАНЬ

.

За формою рівняння цілком ідентичне рівнянню вільних незгасаючих механічних коливань:

Видно, що заряд q - аналог зміщення x; індуктивність L - аналог маси m; 1/C - аналог жорсткості k.

Розв'язок диференціального рівняння також має аналогічний вигляд:

ШВИДКІСТЬ ЗМІНИ ЗАРЯДУ, яка дорівнює першій похідній від заряду за часом, це СИЛА СТРУМУ:

I =

Сила струму в коливальному контурі виконує гармонічні коливання, частота яких дорівнює власній частоті контура , амплітуда сили струму залежить не тільки від амплітуди коливань заряду, а й від частоти, а фаза коливань струму відрізняється від фази коливань заряду на .

ЕНЕРГІЯ ЕЛЕКТРИЧНОГО ПОЛЯ - це енергія зарядженого конденсатора

ЕНЕРГІЯ МАГНІТНОГО ПОЛЯ - це енергія, нагромаджена в довгому соленоїді:

Оскільки L і С пов'язані через власну частоту:

то:

L =;

а формулу для енергії магнітного поля можна записати так:

=.

Отже, амплітуди коливань електричної і магнітної енергії однакові, а частота коливань вдвічі більша від частоти коливань заряду і струму.

ПОВНА ЕНЕРГІЯ електромагнітних коливань дорівнює сумі електричної і магнітної енергії

Як бачимо, повна енергія не залежить від часу, вона стала. Повна енергія дорівнює максимальному значенню енергії магнітного поля в котушці, або максимальному значенню енергії електричного поля в конденсаторі.