Вільні незгасаючі коливання

1.Вступ

Коливальними називаються процеси, які характеризуються певною повторюваністю і періодичним поверненням до початкового стану.

У природі існує безліч фізичних об’єктів, які здійснюють періодичні коливання. Ці об’єкти можуть істотно відрізнятися один від одного як за фізичною природою, так і за характером коливань. Але, як виявилось, загальні властивості не залежать від типу системи. Відповідно, математичні рівняння, що описують коливання в системах різної природи, виявляються формально однаковими. Відмінності мають частковий характер і стосуються лише фізичного тлумачення тих чи інших математичних величин, які входять до рівняння. Тому, вивчаючи загальні властивості в якійсь одній фізичній системі, ми автоматично дістаємо низку базових закономірностей, які є спільними для всіх без винятку систем.

Розрізняють коливання ВІЛЬНІ і ВИМУШЕНІ.

Вільні коливання виконує система, до якої не підводиться зовні енергія. Тобто, це коливання в системах, представлених самим собі.

Якщо при цьому система не витрачає своєї енергії, то її повна енергія залишається весь час сталою і коливання будуть незгасаючими.

Якщо ж енергія системи зменшується, наприклад через виконання роботи проти зовнішніх сил, то коливання будуть зaгасаючими.

Вимушені коливання виникають в системах, які зазнають періодичної зовнішньої дії. Це може бути сила, напруга і т. ін. Вимушені коливання, здебільшого незгасаючі.

В курсі фізики вивчають такі коливні системи: математичний, фізичний, пружинний, крутильний маятники, коливальний контур (електронний маятник).

Розглянемо паралельно механічні (на прикладі пружинного маятника) та електричні (на прикладі коливального контура) коливання.

2.Вільні незгасаючі механічні коливання

Незгасаючі механічні коливання виконуватиме система, що складається з тіла масою m і пружини, яка повертає тіло до положення рівноваги. Таку систему називають ПРУЖИННИМ МАЯТНИКОМ.

Якщо вивести тіло з положення рівноваги, відхиливши його на відстань x, то воно набуде потенціальної енергії, що дорівнює роботі розтягнення пружини. Відпустивши тіло, ми даємо йому змогу повернутися в початкове положення рівноваги. У цьому положенні вся потенціальна енергія перейде в кінетичну, тіло за інерцією продовжуватиме рух, стискаючи пружину і виконуючи роботу стискання .

Коли всю кінетичну енергію буде витрачено на роботу стискання, тіло зупиниться, набувши потенціальної енергії. А це означає, що процес перетворення кінетичної енергії в потенціальну, і навпаки, буде відбуватися як завгодно довго, тобто тіло виконуватиме незгасаючі коливання від -x до +x.

Знайдемо рівняння руху тіла m.

За другим законом динаміки швидкість зміни імпульсу дорівнює сумі всіх сил, які діють на тіло:

Надалі знаки векторів можна не записувати, оскільки рух одномірний. Тіло вважатимемо матеріальною точкою з масою m. У нашому випадку на тіло діють сила тяжіння і пружна повертаюча сила F_пр.. Сила тяжіння стала за величиною і не впливає на рух тіла. Сила пружності згідно із законом Гука при малих зміщеннях прямо пропорційна до зміщення:

F_пр = - kx,

де k - КОЕФІЦІЕНТ ЖОРСТКОСТІ пружного елемента.

Знак «мінус» означає, що сила напрямлена в бік, протилежний зміщенню. Маса m стала, і тому

або

Поділивши обидві частини рівняння на масу m і ввівши заміну ,

дістанемо ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ РІВНЯННЯ НЕЗГАСАЮЧИХ МЕХАНІЧНИХ КОЛИВАНЬ

.

Загальний розв’язок цього лінійного диференціального рівняння другого порядку відомий:

.

Це також рівняння руху, але вже в явному вигляді. Такі коливання системи називають гармонічними. Тобто: гармонічнними коливаннями називають коливання, при яких параметри системи змінюються за законом sin або cos.

Значення косинуса змінюються в межах від +1 до -1. Значення зміщення від положення рівноваги лежать у межах від +А до –А . Тому А - найбільше зміщення від положення рівноваги, називається АМПЛІТУДОЮ КОЛИВАНЬ.

Величина

яка є аргументом косинуса, називається ФАЗОЮ КОЛИВАНЬ. У початковий момент часу при t = 0 значення фази ₀ . ₀ - називається ПОЧАТКОВОЮ ФАЗОЮ.

На рисунку зображено залежність зміщення x від часу t. Якщо початкова фаза дорівнює , то замість косинуса буде синус - теж гармонічна функція. Оскільки косинус - функція періодична, то зміщення повторюватиметься через інтервал часу, що дорівнює періоду коливань. ПЕРІОДОМ КОЛИВАНЬ називають час одного повного коливання.

Кількість коливань за одиницю часу v називають ЧАСТОТОЮ КОЛИВАНЬ.

Оскільки період косинуса дорівнює то , звідки

.

де - ЦИКЛІЧНА, або КОЛОВА, ЧАСТОТА КОЛИВАНЬ.

Циклічна частота визначається властивостями самої коливальної системи. Під час виведення диференціального рівняння руху ми вводили позначення

.

Можна сказати, що колова частота визначається відношенням сил пружності до сил інерції. Її називають ВЛАСНОЮ ЧАСТОТОЮ і тому ставлять індекс нуль.

Якщо ми знаємо рівняння руху, то легко обчислити будь-які кінематичні характеристики коливань.