Контрольные задания
-
Доказать, что произведение
гомеоморфно
.
1.2 Доказать, что если
замкнуто в
а
замкнуто в
,
то
замкнуто
в
.
1.3 Доказать, что
при любых
и
.
1.4 Доказать, что
.
1.5
Доказать, что отображения
и
непрерывны.
1.6 Доказать, что для любых
отображений
и
существует одно и только одно отображение
c
и
.
1.7
Пусть
и
- базы топологий пространств
и
.
Показать, что множества
с
и
составляют
базу пространства
.
1.8
Доказать, что пространство
хаусдорфово тогда и только тогда, когда
множество
замкнуто в
.
1.9 Доказать,
что если множество
открыто
в
,
то множество
открыто в
.
1.10 Построить для точек
и
две непересекающиеся окрестности в
топологическом пространстве
,
где
.
1.11 Пусть
и
– топологические пространства,
.
Показать, что топология, индуцированная
на
,
совпадает с топологией произведения
подпространств
и
.
1.12 Показать, что топология произведения топологических пространств с дискретной топологией дискретна.
1.13 Пусть
и
– топологические пространства. Показать,
что срез открытого множества произведения
является открытым множеством.
1.14 Показать, что топология произведения топологических пространств с антидискретной топологией антидискретна.
1.15 Пусть
и
– топологические пространства. Показать,
что срез замкнутого множества произведения
является замкнутым множеством.
1.16 Показать, что произведение компактных пространств компактно.
1.17 Доказать, что проекции произведения
топологических пространств
и
– открытые множества.
1.18 Пусть
и
– топологические пространства и
.
Доказать, что множество подмножеств
произведения
вида
,
где
– окрестность точки
и
- окрестность точки
,
является фундаментальной системой
окрестностей точки
.
1.19 Построить для точки
две различные окрестности в топологическом
пространстве
,
где
.
1.20 Показать, что если топологические
пространства
и
удовлетворяют первой аксиоме счетности,
то и
так же удовлетворяет первой аксиоме
счетности.
1.21 Показать, что если топологические
пространства
и
удовлетворяют аксиоме отделимости
,
то и
так же удовлетворяет аксиоме отделимости
1.22 Показать, что если топологические
пространства
и
удовлетворяют второй аксиоме счетности,
то и
так же удовлетворяет второй аксиоме
счетности.
1.23 Показать, что если топологические
пространства
и
удовлетворяют аксиоме отделимости
,
то и
так же удовлетворяет аксиоме отделимости
1.24 Показать, что если топологические
пространства
и
является связным, то и
так же является связным пространством.
1.25 Показать, что если топологические
пространства
и
удовлетворяют аксиоме отделимости
,
то и
так же удовлетворяет аксиоме отделимости
1.26 Построить для точки
две различные окрестности в топологическом
пространстве
,
где
1.27 Найти внутренность, замыкание
и границу отрезка
в
топологическом пространстве
, где
1.28 Найти внутренность, замыкание и
границу множества
в топологическом пространстве
1.29 Пусть
.
Построить какое либо топологическое
пространство
.
1.30 Найти внутренность, замыкание
и границу множества
в
топологическом пространстве
, где
2.1
Пусть
Рассмотрим следующее отношение
эквивалентности на
.
Дать описание топологии на
(указать открытые и замкнутые множества
в ней).
2.2
Пусть
Рассмотрим следующее отношение
эквивалентности на
.
Дать описание топологии на
(указать открытые и замкнутые множества
в ней).
2.3
Пусть
Рассмотрим следующее отношение
эквивалентности на
Дать описание топологии на
(указать открытые и замкнутые множества
в ней).
2.4
Пусть
Рассмотрим следующее отношение
эквивалентности на
Дать описание топологии на
(указать открытые и замкнутые множества
в ней).
2.5
Пусть
Рассмотрим следующее отношение
эквивалентности на
.
Дать описание топологии на
(указать открытые и замкнутые множества
в ней).
2.6 Пусть
Рассмотрим следующее отношение
эквивалентности на
.
Дать описание топологии на
(указать открытые и замкнутые множества
в ней).
2.7
Пусть
Рассмотрим следующее отношение
эквивалентности на
Дать описание топологии на
(указать открытые и замкнутые множества
в ней).
2.8
Пусть
Рассмотрим следующее отношение
эквивалентности на
Дать описание топологии на
(указать открытые и замкнутые множества
в ней).
2.9
Пусть
Рассмотрим следующее отношение
эквивалентности на
Дать описание топологии на
(указать открытые и замкнутые множества
в ней).
2.10 Пусть
Рассмотрим следующее отношение
эквивалентности на
.
Дать описание топологии на
(указать открытые и замкнутые множества
в ней.
2.11 Пусть
Рассмотрим следующее отношение
эквивалентности на
.
Найти границу множества
в топологическом фактор пространстве
.
2.12
Пусть
Рассмотрим следующее отношение
эквивалентности на
.
Дать описание топологии на
(указать открытые и замкнутые множества
в ней).
2.13 Пусть
Рассмотрим следующее отношение
эквивалентности на
Дать описание топологии на
(указать открытые и замкнутые множества
в ней).
2.14 Показать,
что топологическое фактор пространство
с антидискретной топологией на
является так же антидискретным.
2.15 Пусть
Рассмотрим следующее отношение
эквивалентности на
Дать описание топологии на
(указать открытые и замкнутые множества
в ней).
2.16 Пусть
Рассмотрим следующее отношение
эквивалентности на
.
Дать описание топологии на
(указать открытые и замкнутые множества
в ней.
2.17
Показать, что топологическое фактор
пространство с дискретной топологией
на
является так же дискретным. .
2.18 Пусть
Рассмотрим следующее отношение
эквивалентности на
Дать описание топологии на
(указать открытые и замкнутые множества
в ней).
2.19 Пусть
Рассмотрим следующее отношение
эквивалентности на
.
Дать описание топологии на
(указать открытые и замкнутые множества
в ней).
2.20 Пусть
Рассмотрим следующее отношение
эквивалентности на
Дать описание топологии на
(указать открытые и замкнутые множества
в ней).
2.21 Пусть
Рассмотрим следующее отношение
эквивалентности на
Дать описание топологии на
(указать открытые и замкнутые множества
в ней).
2.22 Пусть
Рассмотрим следующее отношение
эквивалентности на
Дать
описание топологии на
(указать открытые и замкнутые множества
в ней).
2.23 Пусть
Рассмотрим следующее отношение
эквивалентности на
Найти внутренность, замыкание и
границу множества
2.24
Пусть
Рассмотрим следующее отношение
эквивалентности на
Найти внутренность, замыкание и
границу множества
2.25 Пусть
Рассмотрим следующее отношение
эквивалентности на
.
Найти внутренность, замыкание и границу
множества
в
топологическом фактор пространстве
2.26 Пусть
Рассмотрим следующее отношение
эквивалентности на
Построить всевозможные окрестности
точки
в топологическом фактор пространстве
2.27 Пусть
Рассмотрим следующее отношение
эквивалентности на
Построить окрестности точки
в
топологическом фактор пространстве
2.28 Пусть
Рассмотрим следующее отношение
эквивалентности на
.
Дать описание топологии на
(указать открытые и замкнутые множества
в ней).
2.29 Пусть
.
Построить какое либо нетривиальной
топологическое фактор пространство
.
2.30 Пусть
Рассмотрим следующее отношение
эквивалентности на
Найти внутренность, замыкание и
границу множества
в
топологическом фактор пространстве
.