Примеры.

1. , , (где - - мерный куб).

2. .

3. Пусть - произвольное топологическое пространство, , т.е. единственный

элемент в - само пространство . Ясно, что факторпространство одноточечное, т.е. .

4. Пространство - произвольное, , т.е. все элементы в одноточечные. Очевидно, что .

5. На вещественной прямой зададим разбиение . Будем считать, что , где - “большая точка” множества . Множество можно изобразить на плоскости (т. е. посредством биекции отождествить с некоторым множеством на плоскости) следующим образом. Первую четверть разобьем на секторы: (от до ), (от до ), (от до ) и т.д., аналогично вторую

четверть на секторы: (от до ) , (от до ) и т.д. При склеивании

множества в точку каждый отрезок , , превращается в петлю. Обозначим её для и для . Каждую петлю поместим в секторе , располагая точку в начале координат. Тогда множество можно представить себе в виде цветка со счетным числом лепестков. Следует однако отметить, что построенное изображение не является топологическим вложением. Его вообще не существует, иначе говоря, топология в не индуцируется из плоскости. Точка не имеет в счетной локальной базы.

6. На плоскости рассмотрим замкнутый прямоугольник с естественной (т.е.

индуцированной из плоскости) топологией. Зафиксируем две его различные стороны

и зададим биекцию , заключающуюся в обычном наложении отрезка на отрезок с предварительным (если это необходимо ) растяжением или сжатием. Всего таких биекций две. Для однозначного задания отображения достаточно зафиксировать на каждом из отрезков некоторое направление и потребовать, чтобы при наложении эти направления совмещались. Далее, рассмотрим факторизацию прямоугольника, порожденную разбиением и заключающуюся в склеивании каждой точки с соответствующей точкой . Такая факторизация называется склеиванием сторон и .

Основные теоремы

Теорема 83. Отображения и непрерывны.

Теорема 84. Слои произведения канонически гомеоморфны сомножителям. Каноническими гомеоморфизмами служат сужения проекций.

Теорема 85. Хаусдорфовость сохраняется при перемножении.

Теорема 86. Сепарабельность сохраняется при перемножении.

Теорема 87. Произведение пространств, удовлетворяющих первой аксиоме счетности,

удовлетворяет первой аксиоме счетности. То же верно и для второй аксиомы счетности.

Теорема 88. Метризуемость сохраняется при перемножении.

Теорема 89. Связность, а также линейная связность, сохраняются при перемножении.

Теорема 90. Компактность сохраняется при перемножении.

Теорема 91. Множество в факторпространстве открыто тогда и только тогда, когда оно является образом насыщенного открытого множества при отображении .

Теорема 92. Следующие утверждения эквивалентны:

1) Множество в факторпространстве открыто;

2) Прообраз множества при проекции замкнут в ;

3) Множество является образом насыщенного замкнутого множества.

Теорема 93. Прекция является непрерывным отображением.

Теорема 94. Факторпространство линейно связного пространства линейно связно.

Теорема 95. Факторпространство сепарабельного пространства сепарабельно.

Теорема 96. Факторпространство компактного пространства компактно.

Теорема 97. Если - топологические пространства, - разбиение пространства на непустые множества и – непрерывное отображение, постоянное на каждом элементе разбиения , то фактор отображения является непрерывным отображением (отображение называется инъективным фактором отображения).

Теорема 98. Если непрерывное отображение компактного пространства на Хаусдорфово пространство , то инъективный фактор является гомеоморфизмом.

Теорема 99. Инъективный фактор непрерывного отображения компактного пространства в хаусдорфово является топологическим вложением.

Теорема 100. (Транзитивность факторизации). Если - разбиение пространства и - разбиение пространства , то факторпространтсво канонически гомеоморфно , где - разбиение пространства на прообразы элементов разбиения при проекции .