9

Лабораторная работа 7. Произведение топологических пространств. Фактор – пространство. Основные понятия и определения.

Прямым произведением (декартовым произведением или просто произведением) множеств и называется множество всех упорядоченных пар с и . Если и , то . Множества и c и называются слоями произведения .

Отображения произведения на и , определяемые формулами и обозначаются через и и называются проекциями.

Пусть и – топологические пространства. Множество вида назовем элементарным, если - открыто в Х и V – открыто в .

Произведением пространств и называется множество с топологией, базой которой служит совокупность элементарных множеств.

Всякому отображению , где - некоторые множества, соответствуют (так называемые координатные) отображения и .

Если имеются отображения и , то возникает отображение , определяемое формулой . Это отображение называется произведением отображений и и обозначается .

Будем говорить, что топологическое свойство сохраняется при перемножении, если из того, что сомножители обладают этим свойством, следует, что произведение тоже им обладает.

Пространство называется тором.

Произведение ( сомножителей) называется - мерным тором.

Пусть и – топологические пространства, и . Срезом подмножества по элементу называется множество таких точек , что .

Пусть - некоторое множество, - его разбиение (разбиением множества называется его покрытие попарно непересекающимися множествами). Множество, элементами которого являются подмножества множества , составляющие разбиение , называется фактормножеством множества , по разбиению и обозначается через (это множество называется также фактормножеством множества по соответствующему отношению эквивалентности). Отображение , относящее каждой точке содержащий ее элемент разбиения , называется проекцией или отображением факторизации и обозначается через . Подмножества множества , составленные из целых элементов разбиения, называются насыщенными. Наименьшее насыщенное множество, содержащее подмножество множества , называется его насыщением.

Фактормножество топологического пространства по любому разбиению на непустые подмножества наделяется естественной топологией: множество объявляется открытым в , если открыт его прообраз при отображении . Совокупность таких множеств является топологической структурой в . Эта топологическая структура называется фактортопологией, а множество , наделенное ею, называется факторпространством пространства по разбиению .

Факторпространство квадрата по разбиению на одноточечные подмножества его внутренности, четверку вершин, пары точек оснований, расположенных на одной вертикали, и пары точек боковых сторон, симметричных относительно центра называется бутылкой Клейна.

Факторпространство квадрата по разбиению на пары симметричных относительно центра квадрата точек его боковых сторон и на лежащие на боковых сторонах одноточечные подмножества гомеоморфно ленте Мебиуса, т.е. поверхности, которая образуется в отрезком, поворачивающимся в полуплоскости на вокруг своей середины при одновременном вращении полуплоскости на вокруг своей граничной прямой.