Примеры.

1. Пусть . Рассмотрим топологию стрелки . Тогда существует окрестность , но не существует окрестность такая, что она не содержала бы точку . Следовательно, не является пространством.

2. Пусть - метризуемое топологическое пространство . Тогда является Хаусдорфовым пространством.

3. Пространство с топологией Зарисского не является Хаусдорфовым топологическим пространством.

4. Как следствие примера 3. можно заметить, что с топологией Зарисского не

является метризуемым топологическим пространством.

Основные теоремы

Теорема 54. Топологическое пространство удовлетворяет первой аксиоме отделимости тогда и только тогда, когда в все одноточечные множества замкнуты тогда и тогда, когда в все конечные множества замкнуты.

Теорема 55. Первая аксиома отделимости наследственна.

Теорема 56. Всякое Хаусдорфово пространство удовлетворяет первой аксиоме отделимости.

Теорема 57. Всякое метрическое пространство Хаусдорфово.

Теорема 58. В Хаусдорфовом пространстве ни одна последовательность не может иметь более одного предела.

Теорема 59. Хаусдорфовость наследственна.

Теорема 60. Всякое метрическое пространство регулярно.

Теорема 61. Всякое метрическое пространство нормально.

Теорема 62. Пространство регулярно тогда и только тогда, когда есть - пространство, в котором для любых точки и окрестности , найдётся окрестность , такая, что .

Теорема 63. Пространство нормально тогда и только тогда, когда есть - пространство, в котором для любых замкнутого множества и окрестности , найдётся окрестность , такая, что .

Теорема 64. (Большая лемма Урысона) пусть пространство нормально, и - непустые множества в , . Тогда существует функция , такая, что , и .

Контрольные задания

1.1 а) Удовлетворяет ли 1-й и 2-й аксиомам счётности пространство с естественной топологией.

б) Доказать, что вторая аксиома счётности наследственна.

в) Показать, что любое счётное множество в топологическом пространстве нигде не плотно.

1.2 а) Удовлетворяет ли 1-й и 2-й аксиомам счётности пространство с топологией Зарисского.

б) Доказать, что в метрических пространствах сепарабельность наследственна.

в) Показать, что не сепарабельно.

1.3 а) Удовлетворяет ли 1-й и 2-й аксиомам счётности пространство с топологией Зоргенфрея.

б) Доказать, что пространство и любое его подпространство сепарабельно и удовлетворяет второй аксиоме счётности.

в) Пусть топологическое пространство с топологией . Доказать, что для любого множество нигде не плотно.

1.4 а) Удовлетворяет ли 1-й и 2-й аксиомам счётности пространство с дискретной и антидискретной топологиями.

б) Доказать, что из всякого покрытия пространства, удовлетворяющего второй аксиоме счётности, открытыми множествами можно выделить счётный набор множеств, также являющийся покрытием.

в) Пусть всюду плотно в . Показать, что для любого множество всюду плотно в .

1.5 а) Удовлетворяет ли 1-й и 2-й аксиомам счётности пространство с топологией стрелки.

б) Доказать, что, если пространство удовлетворяет первой аксиоме счётности, то для любого множества верно .

в) Пусть нигде не плотно в . Показать, что для любого множество нигде не плотно в .

1.6 а) Является ли сепарабельным пространство с топологией стрелки.

б) Сохраняется ли при непрерывном отображении первая аксиома счётности?

в) Доказать, что если , всюду плотно в и всюду плотно в , то всюду плотно в .

1.7 а) Является ли сепарабельным пространство с естественной топологией.

б) Сохраняется ли при непрерывном биективном отображении вторая аксиома счётности?

в) Доказать, что если пространство имеет счётную базу, то для любого множества совокупность точек , изолированных в , не более чем счётна.

1.8 а) Является ли сепарабельным пространство с топологией Зоргенфрея.

б) Доказать, что пространство и любое его подпространство сепарабельно и удовлетворяет второй аксиоме счётности.

в) Доказать, что топологическое пространство дискретно тогда и только тогда, когда любая точка изолирована в .

1.9 а) Является ли сепарабельным пространство с топологией Зарисского.

б) Доказать, что из любой базы топологического пространства с естественной

топологией можно выделить счетный набор множеств, также являющийся базой

пространства .

в) Доказать, что если топологическое пространство имеет счётную базу, то для любого множества совокупность точек , изолированных в , не более чем счётна.

1.10 а) Является ли сепарабельным пространство с дискретной и антидискретной топологиями.

б) Доказать, что в топологическом пространстве с естественной топологией всякая совокупность попарно непересекающихся открытых множеств счетна.

в) Показать, что пространство с естественной топологией сепарабельно.

1.11 а) Доказать, что если топологическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счётности, то всякая точка прикосновения к множеству , может быть получена как предел сходящейся последовательности точек из .

б) Показать, что сепарабельность не наследственна (привести пример).

в) Привести пример несчётного всюду плотного множества из .

1.12 а) Доказать, что из второй аксиомы счётности следует сепарабельность пространства.

б) Привести пример нигде не плотного множества в топологическом пространстве с естественной топологией.

в) Показать, что дискретное топологическое пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда оно конечно или счётно.

1.13 а) Доказать, что непрерывный образ сепарабельного пространства сепарабельно.

б) Построить метрическое пространство, не удовлетворяющее второй аксиоме счётности.

в) Показать, что топологическое пространство с естественной топологией сепарабельно.

1.14 а) Доказать, что из второй аксиомы счётности следует первая.

б) Построить пример топологического пространства без первой аксиомы счетности.

в) Доказать, что пространство рациональных точек отрезка нульмерно.

1.15 а) Является ли наследственными первая и вторая аксиомы счётности.

б) Показать, что пространство сепарабельно.

в) Доказать, что числовая прямая с естественной метрикой есть полное сепарабельное метрическое пространство.

1.16 а) Удовлетворяет ли 1-й и 2-й аксиомам счётности пространство с топологией стрелки.

б) Доказать, что вторая аксиома счётности наследственна.

в) Показать, что множество нигде не плотно в тогда и только тогда, когда .

1.17 а) На полуинтервале определим все полуинтервалы вида , где как базу некоторой топологии . Полученное топологическое пространство обозначим через . Показать, что удовлетворяет первой аксиоме счетности.

б) Доказать, что в метрических пространствах сепарабельность наследственна.

в) Показать, что множество нигде не плотно в тогда и только тогда, когда в любом непустом открытом множестве существует такое непустое открытое подмножество , что .

1.18 а) На полуинтервале определим все полуинтервалы вида , где как базу некоторой топологии . Полученное топологическое пространство обозначим через . Показать, что сепарабельно.

б) Доказать, что пространство и любое его подпространство сепарабельно и удовлетворяет второй аксиоме счётности.

в) Доказать, что пересечение конечного числа открытых всюду плотных в пространстве множеств всюду плотно в .

1.19 а) На полуинтервале определим все полуинтервалы вида , где как базу некоторой топологии . Полученное топологическое пространство обозначим через . Показать, что не имеет счетной базы.

б) Доказать, что из всякого покрытия пространства, удовлетворяющего второй аксиоме счётности, открытыми множествами можно выделить счётный набор множеств, также являющийся покрытием.

в) Доказать, что объединение конечного числа нигде не плотных в пространстве множеств нигде не плотно в .

1.20 а) Пусть сепарабельное пространство, удовлетворяющее первой аксиоме счетности. Показать, что любое всюду плотное в подпространство сепарабельно.

б) Доказать, что, если пространство удовлетворяет первой аксиоме счётности, то для любого множества верно .

в) Доказать, что любое непустое подмножество пространства с тривиальной топологией всюду плотно в нём.

1.21 а) Доказать, что любое метрическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности.

б) Сохраняется ли при непрерывном отображении первая аксиома счётности?

в) Доказать, что нигде не плотное открытое множество пусто.

1.22 а) Доказать, что если метризуемое пространство имеет счетную базу, то оно сепарабельно.

б) Сохраняется ли при непрерывном биективном отображении вторая аксиома счётности?

в) Доказать, что топология пространства , в котором любое всюду плотное подмножество совпадает с , дискретна.

1.23 а) Доказать, что прямая с топологией Зоргенфрея не удовлетворяет второй аксиоме счетности.

б) Доказать, что пространство и любое его подпространство сепарабельно и удовлетворяет второй аксиоме счётности.

в) Доказать, что топологическое пространство дискретно тогда и только тогда, когда любая точка изолирована в .

1.24 а) Показать, что конечное дискретное пространство удовлетворяет второй аксиоме счетности.

б) Доказать, что из любой базы топологического пространства с естественной

топологией можно выделить счетный набор множеств, также являющийся базой

пространства .

в) Доказать, что метризуемое топологическое пространство тогда и только тогда сепарабельно, когда оно имеет счётную базу.

1.25 а) Показать, что из второй аксиомы счетности следует первая аксиома счетности.

б) Доказать, что в топологическом пространстве с естественной топологией всякая совокупность попарно непересекающихся открытых множеств счетна.

в) Доказать, что сепарабельное метрическое пространство имеет мощность не большую мощности континуума.

1.26 а) Показать, что пространство имеет счетную базу.

б) Показать, что метрическое пространство, топология которого дискретна, полно.

в) Доказать, что вполне ограниченное метрическое пространство сепарабельно.

1.27 а) Привести пример топологического пространства со счетной базой.

б) Привести пример нигде не плотного множества в топологическом пространстве с топологией Зарисского.

в) Показать, что топологическое пространство с топологией Зоргенфрея сепарабельно.

1.28 а) Построить счетную ФСО точки 2 в естественной топологии на .

б) Показать, что всякое бесконечное ограниченное подмножество прямой имеет на прямой предельную точку.

в) Показать, что топологическое пространство с антидискретной топологией сепарабельно.

1.29 а) Доказать, что числовая прямая с естественной метрикой есть полное сепарабельное метрическое пространство.

б) Докажите, что всякое нигде не плотное множество на прямой нульмерно.

в) Показать, что топологическое пространство с дискретной топологией не является сепарабельным.

1.30 а) Доказать, что пространство рациональных точек отрезка нульмерно.

б) Доказать, что замкнутое (метрическое) подпространство полного метрического пространства является полным метрическим подпространством.

в) Доказать, что топологическое пространство с топологией Зарисского сепарабельно.

1. а) Является ли наследственной первая аксиома отделимости?

б) Сохраняется ли при непрерывном отображении регулярность, если - непрерывное сюръективное отображение, переводящее каждое замкнутое множество в замкнутое?

2.2 а) Является ли наследственной вторая аксиома отделимости?

б) Доказать, что, если топологическое пространство удовлетворяет первой аксиоме отделимости, то любое одноточечное множество замкнуто в .

3. а) Является ли наследственной третья аксиома отделимости?

б) Доказать, что, если топологическое пространство удовлетворяет первой

аксиоме отделимости, то любое конечное множество замкнуто в .

4. а) Является ли наследственной четвёртая аксиома отделимости?

б) Доказать, что всякое метрическое пространство удовлетворяет первой аксиоме отделимости.

2.5 а) Является ли наследственной регулярность топологических пространств?

б) Доказать, что всякое метрическое пространство Хаусдорфово.

6. а) Является ли наследственной нормальность топологических пространств?

б) Доказать, что всякое регулярное пространство Хаусдорфово.

2.7 а) Является ли наследственной регулярность метрических пространств?

б) Доказать, что всякое метрическое пространство регулярно.

2.8 а) Является ли наследственной нормальность в с естественной топологией?

б) Доказать, что всякое нормальное пространство регулярно.

2.9 а) Сохраняется ли при непрерывном отображении первая аксиома отделимости?

б) Доказать, что в Хаусдорфовом пространстве ни одна последовательность не может иметь более одного предела.

2.10 а) Сохраняется ли при непрерывном отображении вторая аксиома отделимости?

б) Доказать, что множество всех неподвижных точек непрерывного отображения Хаусдорфова пространства в себя является замкнутым.

2.11 а) Сохраняется ли при непрерывном отображении третья аксиома отделимости?

б) Доказать, что пространство удовлетворяет третьей аксиоме отделимости тогда и только тогда, когда в любой окрестности каждой его точки содержится замыкание некоторой окрестности этой точки.

2.12 а) Сохраняется ли при непрерывном отображении четвёртая аксиома отделимости?

б) Доказать, что всякое замкнутое подпространство нормального пространства нормально.

2.13 а) Сохраняется ли при непрерывном отображении регулярность топологических пространств?

б) Доказать, что любое регулярное пространство со счётной базой нормально.

2.14 а) Сохраняется ли при непрерывном отображении нормальность топологических пространств.

б) Показать, что окружность гомеоморфна границе квадрата.

2.15 а) Сохраняется ли при непрерывном отображении нормальность, если - непрерывное сюръективное отображение, переводящее каждое замкнутое множество в замкнутое?

б) Показать, что любое регулярное пространство со счётной базой метризуемо.

2.16 а) Доказать, что в топологическом пространстве все одноэлементные подмножества замкнуты тогда и только тогда, когда у любой из двух различных точек пространства существует такая окрестность, которая не содержит другую точку.

б) Доказать, что пространство с дискретной топологией Хаусдорфово.

2.17 а) Показать, что топология более сильная чем Хаусдорфова тоже Хаусдорфова.

б) Указать все сходящиеся последовательности в пространстве с дискретной топологией.

18. а) Доказать, что аксиома Хаусдорфа эквивалентна следующему утверждению: пересечение всех замкнутых окрестностей любой точки есть .

б) Указать все сходящиеся последовательности в пространстве с антидискретной топологией.

2.19 а) Показать, что в Хаусдорфовом пространстве топология, индуцированная на любом конечном подмножестве, дискретна.

б) Пусть бесконечное множество. Наделим его топологией, в которой замкнутыми множествами будет и его конечные подмножества. Показать, что топологическое пространство не Хаусдорфово.

2.20 а) Доказать, что в - пространстве любое множество является пересечением некоторого семейства открытых множеств.

б) Пусть является - пространством, - предельная точка множества и - произвольная окрестность точки . Доказать, что множество бесконечно.

21. а) Доказать, что в - пространстве множество всех предельных точек любого подмножества замкнуто.

б) Пусть - Хаусдорфово пространство, в котором любое подмножество либо открыто, либо замкнуто. Доказать, что в не может существовать более одной предельной точки.

2.22 а) Доказать, что - пространство, единственная точка которого не изолирована, является нормальным пространством.

б) Доказать, что нормальное пространство со счетной базой метризуемо (теорема Урысона).

2.23 а) Будет ли нормальным с топологией Зарисского?

б) Доказать, что - пространство наследственно.

2.24 а) Доказать, что - пространство наследственно.

б) Будет ли пространство с топологией стрелки - пространством?

2.25 а) Удовлетворяет ли первой аксиоме отделимости топологическое пространство с топологией Зоргенфрея?

б) Какие аксиомы отделимости выполняются в с дискретной и антидискретной топологией?

2.26 а) Выполняется ли третья аксиома отделимости в топологическом пространстве с топологией Зарисского?

б) На полуинтервале определим все полуинтервалы вида , где как базу некоторой топологии . Полученное топологическое пространство обозначим через . Показать, что - - пространство.

2.27 а) Доказать, что - пространство тогда и только тогда регулярно, когда для любой окрестности произвольной точки существует такая окрестность точки , что .

б) Построить пример хаусдорфова нерегулярного пространства.

2.28 а) Будет ли топологическое пространство с естественной топологией - пространством?

б) Является ли счетное регулярное пространство нормальным?

2.29 а) Выполняется ли аксиома в топологическом пространстве с естественной топологией?

б) Пусть - множество всех действительных чисел с топологией, базой которой является семейство всех полуоткрытых промежутков. Показать, что - нормальное пространство.

2.30 а) Выполняется ли аксиома в топологическом пространстве с естественной топологией?

б) Показать, что любое Хаусдорфово пространство является - пространством.