- •1. Понятие первообразной. Свойства первообразных.
- •2. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.
- •3. Основные методы нахождения неопределенных интегралов.
- •4. Формула интегрирования по частям и ее вывод.
- •5. Интегрирование рациональных выражений. Деление многочленов.
- •6. Интегрирование рациональных выражений. Разложение в сумму элементарных дробей.
- •7. Интегрирование рациональных выражений. Интегрирование элементарных дробей.
- •8. Интегрирование тригонометрических выражений.
- •9. Гиперболические функции.
- •10. Понятие интегральной суммы. Определение определенного интеграла.
- •11. Теорема о формуле Ньютона-Лейбница.
- •12. Теорема о производной определенного интеграла по верхнему пределу
- •13. Приложение определенного интеграла к вычислению площади области
- •14. Полярные координаты и вывод формулы площади криволинейного сектора.
- •Площадь криволинейного сектора
- •15. Приложение определенного интеграла к вычислению длины кривой, заданной
- •16. Комплексные числа: определение, обозначения, термины, арифметика.
- •17. Тригонометрическая и экспоненциальная форма комплексного числа.
- •Геометрический смысл умножения комплексных чисел:
- •18. Матрицы: определение, арифметика матриц. Связь матриц и систем линейных
- •Связь матриц и систем линейных уравнений
- •19. Алгебраические свойства матриц. Понятие обратной матрицы. Применение
- •20. Определитель матрицы: определение, свойства, способы вычисления.
- •21. Применения определителей: правило Крамера, формула векторного произведения, формула смешанного произведения.
- •22. Векторы. Определения. Понятия равенства векторов и свободных векторов.
- •23. Понятия линейной комбинации, линейной зависимости векторов, коллинеарности,
- •24. Базис и система координат. Координаты вектора. Координаты точки.
- •25. Скалярное произведение: определение, свойства, формула нахождения
- •26. Понятие правой тройки векторов. Связь этого понятия с понятиями векторного
- •27. Векторное произведение: определение, свойства, формула вычисления через
- •28. Смешанное произведение: определение, свойства, формула вычисления
- •29. Уравнения плоскостей в пространстве общее, явное,
- •Формула расстояние от точки до плоскости
- •30. Уравнения прямых в пространстве общие, параметрические, канонические,
- •31. Примеры задач о плоскостях и прямых в пространстве, и методы их решения.
- •32. Дифференцируемость функции нескольких переменных.
- •33. Градиент и его свойство ортогональности. Формулы касательной прямой к кривой
- •34. Частные производные высших порядков: обозначения, независимость от
- •35. Понятие полного дифференциала. Признак полного
29. Уравнения плоскостей в пространстве общее, явное,
в векторной форме, параметрические. Вектор нормали. Формула расстояния
от точки до плоскости. Нахождение угла между плоскостями пространстве.
Общее: Ax+By+Cz+D=0
Для пространства справедлив факт =(A,B,C) ﬩плоскости Ax+By+Cz+D=0
Следствие из этого факта в плоскости заданной общими уравнениями параллельны тогда и только тогда, когда векторы
Явное уравнение с условными коэффициентами
Z=k1x+k2y +b
k1, k2– угловые коэффициенты
в векторной форме
где
- радиус- вектор текущей точки М(х, у, z),
- единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат.
, и - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z.
p – длина этого перпендикуляра.
В координатах это уравнение имеет вид:
xcos + ycos + zcos - p = 0
параметрические уравнения:
x= x0 + a1u + b1v
y=y0 + a2u + b2vu,v- параметры
z=z0 + a3u + b3v
Формула расстояние от точки до плоскости
Расстояние от произвольной точки М0(х0, у0, z0) до плоскостиАх+Ву+Сz+D=0 равно:
Вектор нормали
Вектор n называется вектором нормали плоскости и должен быть перпендикулярен плоскости
Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:
30. Уравнения прямых в пространстве общие, параметрические, канонические,
в векторной форме. Направляющий вектор.
Нахождение угла между прямыми, между прямой и плоскостью пространстве.
Общее:
Параметрические:
Каноническое:
В векторной форме:
Направляющий вектор
Направляющий вектор - это вектор, параллельный прямой.
Нахождение угла между прямыми
Пусть в пространстве заданы две прямые. Их параметрические уравнения:
l1:
l2:
Угол между прямыми и угол между направляющими векторами этих прямых связаны соотношением: = 1или = 1800 - 1. Угол между направляющими векторами находится из скалярного произведения. Таким образом:
.
Между прямой и плокостью пространстве
Пусть плоскость задана уравнением , а прямая - . Из геометрических соображений (см. рис.) видно, что искомый угол = 900 - , где - угол между векторами и . Этот угол может быть найден по формуле:
В координатной форме:
31. Примеры задач о плоскостях и прямых в пространстве, и методы их решения.
Задачи на взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.
Возможности:
1)совпадают;
2)параллельны;
3)пересекаются в одной точке;
4)прямые скрещивающиеся- не пересекаются и не параллельны.
В случаях 2) и 4) можно искать расстояния; 3) и 4)- угод между прямыми.
Расстояние и угол между прямыми удобно находить, используя векторы и специальные операции с векторами.
Прямая и плоскость.
Возможности:
1)прямая лежит в плоскости;
2)прямая парллельна плоскости: l∩α;
3)прямая и плоскость пересекаются: l⊂α и ∩α или l не параллельна α.
В 3 случае можно найти точку пересечения; в случае 2- найти расстояние между прямой и плоскостью, а в случае1 искать нечего.