![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Понятие первообразной. Свойства первообразных.
- •2. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.
- •3. Основные методы нахождения неопределенных интегралов.
- •4. Формула интегрирования по частям и ее вывод.
- •5. Интегрирование рациональных выражений. Деление многочленов.
- •6. Интегрирование рациональных выражений. Разложение в сумму элементарных дробей.
- •7. Интегрирование рациональных выражений. Интегрирование элементарных дробей.
- •8. Интегрирование тригонометрических выражений.
- •9. Гиперболические функции.
- •10. Понятие интегральной суммы. Определение определенного интеграла.
- •11. Теорема о формуле Ньютона-Лейбница.
- •12. Теорема о производной определенного интеграла по верхнему пределу
- •13. Приложение определенного интеграла к вычислению площади области
- •14. Полярные координаты и вывод формулы площади криволинейного сектора.
- •Площадь криволинейного сектора
- •15. Приложение определенного интеграла к вычислению длины кривой, заданной
- •16. Комплексные числа: определение, обозначения, термины, арифметика.
- •17. Тригонометрическая и экспоненциальная форма комплексного числа.
- •Геометрический смысл умножения комплексных чисел:
- •18. Матрицы: определение, арифметика матриц. Связь матриц и систем линейных
- •Связь матриц и систем линейных уравнений
- •19. Алгебраические свойства матриц. Понятие обратной матрицы. Применение
- •20. Определитель матрицы: определение, свойства, способы вычисления.
- •21. Применения определителей: правило Крамера, формула векторного произведения, формула смешанного произведения.
- •22. Векторы. Определения. Понятия равенства векторов и свободных векторов.
- •23. Понятия линейной комбинации, линейной зависимости векторов, коллинеарности,
- •24. Базис и система координат. Координаты вектора. Координаты точки.
- •25. Скалярное произведение: определение, свойства, формула нахождения
- •26. Понятие правой тройки векторов. Связь этого понятия с понятиями векторного
- •27. Векторное произведение: определение, свойства, формула вычисления через
- •28. Смешанное произведение: определение, свойства, формула вычисления
- •29. Уравнения плоскостей в пространстве общее, явное,
- •Формула расстояние от точки до плоскости
- •30. Уравнения прямых в пространстве общие, параметрические, канонические,
- •31. Примеры задач о плоскостях и прямых в пространстве, и методы их решения.
- •32. Дифференцируемость функции нескольких переменных.
- •33. Градиент и его свойство ортогональности. Формулы касательной прямой к кривой
- •34. Частные производные высших порядков: обозначения, независимость от
- •35. Понятие полного дифференциала. Признак полного
12. Теорема о производной определенного интеграла по верхнему пределу
интегрирования.
Здесь тоже из интернета, в лекциях нет этой теоремы.
Если
в определенном интеграле
изменять
верхний предел b,
то будет меняться и значение интеграла,
то есть интеграл будет функцией верхнего
предела.
Обозначим
верхний предел x,
а переменную интегрирования, чтобы не
смешивать ее с верхним пределом,
обозначим t.
Таким образом, интеграл с переменным
верхним пределом является функцией
от x:
.
Имеет
место теорема: производная
интеграла с переменным верхним пределом
от непрерывной функции равна подынтегральной
функции, в которой переменная интегрирования
заменена верхним пределом:
Доказательство. По определению производной
где
[первый
интеграл представим в виде суммы двух
интегралов, пользуясь свойством
аддитивности]=
[по
теореме о среднем]=
где
Тогда
следует
из определения непрерывной функции,
т.к. при
.
Таким образом,
Это
значит, что интеграл с переменным верхним
пределом
является
первообразной для функции
.
13. Приложение определенного интеграла к вычислению площади области
в декартовых координатах.
1)Пусть на плоскости x0y задана область, ограниченная снизу кривой y=f1(x) , заданной в декартовых координатах, сверху – кривой y=f2(x) , слева – прямой x=a, справа – прямой x=b.
Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, площадь этой области можно вычислить по формуле:
2)Пример для более сложной фигуры:
14. Полярные координаты и вывод формулы площади криволинейного сектора.
Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом.
Полярными
координатами произвольной точки М
(относительно заданной системы) называются
числа
и
(см.
рис.). Угол
при
этом следует понимать так, как принято
в тригонометрии. Число
называется
первой координатой, или полярным углом
точки М (
называются
также амплитудой).
Площадь криволинейного сектора
Выведем формулу
для вычисления площади криволинейного
сектора. Для этого нам понадобится
известная из школьного курса геометрии
формула площади кругового сектора
радиуса R с
внутренним углом γ:
(γ задается в радианах).
Разобьем
криволинейный сектор на n частей
такими лучами
,
,…,
что
и
при
.
В силу свойств
площади фигуры, площадь исходного
криволинейного сектора
представится суммой площадей криволинейных
секторов
на каждом участке разбиения
.
Пусть
и
-
наименьшее и наибольшее значение
функции
на i-ом
отрезке
,
.
На каждом таком отрезке построим по два
круговых сектора
и
с
радиусами
и
соответственно.
Обозначим P и Q фигуры,
являющиеся объединением круговых
секторов
,
и
соответственно.
Их площади будут
равны
и
,
причем S(P)
≤ S(G)
≤ S(Q).
Так
как функция
непрерывна
на отрезке [α;β], то на этом отрезке
будет также непрерывна функция
.
Для этой функции S(P) и S(Q) можно
рассматривать аналогично нижней и
верхней суммам Дарбу, что приводит нас
к равенству
Таким образом, площадь
криволинейного сектора находится по
формуле
.