- •1. Понятие первообразной. Свойства первообразных.
- •2. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.
- •3. Основные методы нахождения неопределенных интегралов.
- •4. Формула интегрирования по частям и ее вывод.
- •5. Интегрирование рациональных выражений. Деление многочленов.
- •6. Интегрирование рациональных выражений. Разложение в сумму элементарных дробей.
- •7. Интегрирование рациональных выражений. Интегрирование элементарных дробей.
- •8. Интегрирование тригонометрических выражений.
- •9. Гиперболические функции.
- •10. Понятие интегральной суммы. Определение определенного интеграла.
- •11. Теорема о формуле Ньютона-Лейбница.
- •12. Теорема о производной определенного интеграла по верхнему пределу
- •13. Приложение определенного интеграла к вычислению площади области
- •14. Полярные координаты и вывод формулы площади криволинейного сектора.
- •Площадь криволинейного сектора
- •15. Приложение определенного интеграла к вычислению длины кривой, заданной
- •16. Комплексные числа: определение, обозначения, термины, арифметика.
- •17. Тригонометрическая и экспоненциальная форма комплексного числа.
- •Геометрический смысл умножения комплексных чисел:
- •18. Матрицы: определение, арифметика матриц. Связь матриц и систем линейных
- •Связь матриц и систем линейных уравнений
- •19. Алгебраические свойства матриц. Понятие обратной матрицы. Применение
- •20. Определитель матрицы: определение, свойства, способы вычисления.
- •21. Применения определителей: правило Крамера, формула векторного произведения, формула смешанного произведения.
- •22. Векторы. Определения. Понятия равенства векторов и свободных векторов.
- •23. Понятия линейной комбинации, линейной зависимости векторов, коллинеарности,
- •24. Базис и система координат. Координаты вектора. Координаты точки.
- •25. Скалярное произведение: определение, свойства, формула нахождения
- •26. Понятие правой тройки векторов. Связь этого понятия с понятиями векторного
- •27. Векторное произведение: определение, свойства, формула вычисления через
- •28. Смешанное произведение: определение, свойства, формула вычисления
- •29. Уравнения плоскостей в пространстве общее, явное,
- •Формула расстояние от точки до плоскости
- •30. Уравнения прямых в пространстве общие, параметрические, канонические,
- •31. Примеры задач о плоскостях и прямых в пространстве, и методы их решения.
- •32. Дифференцируемость функции нескольких переменных.
- •33. Градиент и его свойство ортогональности. Формулы касательной прямой к кривой
- •34. Частные производные высших порядков: обозначения, независимость от
- •35. Понятие полного дифференциала. Признак полного
15. Приложение определенного интеграла к вычислению длины кривой, заданной
параметрически, в декартовых координатах, в полярных координатах.
1)Длина кривой заданная в декартовых координатах:
2) Длина кривой, заданной параметрически:
3) Кривая задана в полярных координатах:
16. Комплексные числа: определение, обозначения, термины, арифметика.
Комплексное число – пара вещественных чисел и, естественно, обозначают точкой координатной плоскости, которую при этом называют комплексной плоскостью.
Комплексным числом называется выражение вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей.
Комплексные числа часто обозначают одной буквой, например, z = a + ib. Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z, действительная часть обозначается a = Re z. Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z, мнимая часть обозначается b = Im z. Ось Oy – мнимая ось, Ox – действительная ось.
Арифметика комплексных чисел:
Суммой двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число
a + c + i(b + d).
Произведением двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число
ac – bd + i(ad + bc). |
17. Тригонометрическая и экспоненциальная форма комплексного числа.
Формула Эйлера. Геометрический смысл умножения комплексных чисел.
Возведение комплексных чисел в степень.
- тригонометрическая форма комплексного числа z.
- экспоненциальная форма комплексного числа
Формула Эйлера:
Геометрический смысл умножения комплексных чисел:
Пусть два комплексных числа z и z' изображаются векторами ОМ и OM'. Запишем сомножители в тригонометрической форме и вычислим произведение:
Модуль произведения (оно изображено вектором OL), есть rr', а аргумент произведения равен φ + φ'» т. е. при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Это правило остается в силе для любого числа сомножителей.
Возведение в степень:
18. Матрицы: определение, арифметика матриц. Связь матриц и систем линейных
уравнений.
Матрица – прямоугольная таблица, предполагающая выполнение арифметических действий.
Арифметика матриц:
1) сложение (Складываются матрицы только одного размера)
2)умножение матрицы на число:
3) Умножение матриц (перемножать матрицы можно только тогда, когда длина строки первой матрицы равна высоте столбцов второй матрицы.)
Умножается «строка» на «столбец» так же как скалярно перемножаются два вектора.
Связь матриц и систем линейных уравнений
19. Алгебраические свойства матриц. Понятие обратной матрицы. Применение
обратных матриц к решению систем линейных уравнений.
Алгебраические свойства матриц. Нам знакомы алгебраические свойства чисел. Закон перестановочный и сочетательный по умножению и сложению, а также распрелеоительный.
a+b=b+a; (a+b)+c=a+(b+c); a(b+c)=ab+ac; ab=ba; (ab)c=a(bc)
Для матриц часть законов справедливы, но не все. Нарушается только перестановочность по умножению. Пример: В первых при перестановки матриц умножение может терять смысл. Но даже если умножение возможно и получаются матрицы одинакового размера они могут не совпадать.
Для этих законов (св-в) были приняты другие названия: Коммутативность, Ассоциативность, Дистрибутивность.
Для чисел существ. единицы слож и умнож, т.е. нейтр. эл-ты. (а+0=а; а*1=а). Для матриц очевидны единицы по слож. Это матрицы с нулевыми эл-ми. Для каждого размера своя нулевая матрица (А+0=А). По умножению также существуют единицы, это кв-ные матрицы с единицами на главной диагонали и с нулями на остальных местах. Эту матрицу принято называть единичной. Для кажого размера своя единичная матрица.
Для чисел мы знаем обратные эл-ты по слож и умнож (а+(-а)=0; а-а-1=1; а≠0). Для матриц обратные по слож очевидны. А с обратными по умножению дело обстоит гораздо сложнее. Обратыне эл-ты сущ только у кВ-ных матриц, причем не у всех. Формулы существ, но используют так называемые определители.
Применение. Пусть система линейных алгебраических уравнений задана в матричной форме , где матрица A имеет размерность n на n и ее определитель отличен от нуля.
Так как , то матрица А – обратима, то есть, существует обратная матрица . Если умножить обе части равенства на слева, то получим формулу для нахождения матрицы-столбца неизвестных переменных . Так мы получили решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом.