- •1. Понятие первообразной. Свойства первообразных.
- •2. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.
- •3. Основные методы нахождения неопределенных интегралов.
- •4. Формула интегрирования по частям и ее вывод.
- •5. Интегрирование рациональных выражений. Деление многочленов.
- •6. Интегрирование рациональных выражений. Разложение в сумму элементарных дробей.
- •7. Интегрирование рациональных выражений. Интегрирование элементарных дробей.
- •8. Интегрирование тригонометрических выражений.
- •9. Гиперболические функции.
- •10. Понятие интегральной суммы. Определение определенного интеграла.
- •11. Теорема о формуле Ньютона-Лейбница.
- •12. Теорема о производной определенного интеграла по верхнему пределу
- •13. Приложение определенного интеграла к вычислению площади области
- •14. Полярные координаты и вывод формулы площади криволинейного сектора.
- •Площадь криволинейного сектора
- •15. Приложение определенного интеграла к вычислению длины кривой, заданной
- •16. Комплексные числа: определение, обозначения, термины, арифметика.
- •17. Тригонометрическая и экспоненциальная форма комплексного числа.
- •Геометрический смысл умножения комплексных чисел:
- •18. Матрицы: определение, арифметика матриц. Связь матриц и систем линейных
- •Связь матриц и систем линейных уравнений
- •19. Алгебраические свойства матриц. Понятие обратной матрицы. Применение
- •20. Определитель матрицы: определение, свойства, способы вычисления.
- •21. Применения определителей: правило Крамера, формула векторного произведения, формула смешанного произведения.
- •22. Векторы. Определения. Понятия равенства векторов и свободных векторов.
- •23. Понятия линейной комбинации, линейной зависимости векторов, коллинеарности,
- •24. Базис и система координат. Координаты вектора. Координаты точки.
- •25. Скалярное произведение: определение, свойства, формула нахождения
- •26. Понятие правой тройки векторов. Связь этого понятия с понятиями векторного
- •27. Векторное произведение: определение, свойства, формула вычисления через
- •28. Смешанное произведение: определение, свойства, формула вычисления
- •29. Уравнения плоскостей в пространстве общее, явное,
- •Формула расстояние от точки до плоскости
- •30. Уравнения прямых в пространстве общие, параметрические, канонические,
- •31. Примеры задач о плоскостях и прямых в пространстве, и методы их решения.
- •32. Дифференцируемость функции нескольких переменных.
- •33. Градиент и его свойство ортогональности. Формулы касательной прямой к кривой
- •34. Частные производные высших порядков: обозначения, независимость от
- •35. Понятие полного дифференциала. Признак полного
8. Интегрирование тригонометрических выражений.
Существуют некоторые полезные методы
Если хотя бы одна из степеней нечетная, то интегрирование упрощается
Случай m n- четные, тогда выручают школьные тригонометрические формулы
Получаем
После раскрытия скобок получается сумма степеней косунисов. В первом случае с четными степенями поступаем как во втором случае; с четным случаем используем способ понижения степени.
Замена и интегрирование тригонометрических выражений.
Пример
Рациональная функция отношения соответствует более простому выражениию – это частный случай рациональной функции
Пример2
Опять получилась рациональная функция немного более общего вида, чем в предыдущем случае.
9. Гиперболические функции.
г иперболический косинус:
г иперболический синус:
гиперболический тангенс:
гиперболический котангенс:
С тригонометрическими функциями сходство только в значении в нуле и в четности
– аналог основного тригонометрического тождества
проверим равенство
Для гиперболических функций есть аналоги всех тригонометрических функций
Формулы сложения:
Формулы двойного угла:
Интегралы:
Обратные гиперболическим функции можно найти в виде формул:
Archx и Arshx Ar и arc не одно и тоже arc от слова дуга, угол(арка) Ar – от слова площадь (areal)
Пример применения гиперболической замены
10. Понятие интегральной суммы. Определение определенного интеграла.
Пусть функция f(x) определена на [a;b], и
Тогда называется интегральной суммой функции на [a,b]
К примеру:
Определенный интеграл от функций f на отрезке [a,b] наз-ся предел интегральных сумм при стремлении отрезков к 0, если такое предел сущ-ет
Обозначается:
Знак интеграла – видоизмененная буква S суммма. Если не сущ-ет, то не интегрируем, и функция называется неинтегрируемой на данном отрезке, если сущ-ет – интегрируем.
Пример функция
У интегрируемых сумм нет однозначного предела
Пример2:
Если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема на отрезке.
Непрерывность является достаточным условием, но не является необходимым условием для интегрирования.
Для непрерывной функции и для кусочно-непрерывной годится очень простая формула.
Эта формула практически используется для приближения вычислений определенных интегралов. Если у функции f первообразная F то определенный интеграл можно вычислить с помощью этой первообразной
Определенный интеграл возникает естественно интегральная сумма, т.е. сумма большего числа слагаемых.
11. Теорема о формуле Ньютона-Лейбница.
Если при нахождении первообразной применили метод замены, т.е. найденная первообразная зависит от новой переменной но необязательно возвращаться к старой переменной, достаточно знать новые пределы интегрирования.
Интегрирование по частям для неопределенных интегралов приобретает следующий вид
в реальных вычислениях первое слагаемое в правой части оказывается не функцией, а числом.
Это из интернета
Теорема. Если – какая–либо первообразная для непрерывной функции , то
Доказательство. Пусть –некоторая первообразная функции . Но – также первообразная для , а любые две первообразные данной функции отличаются на постоянную, то есть можно записать:
|
(4) |
Это равенство справедливо для любых . Положим : Но , поэтому , . Полагая в (4) x=b и подставляя значение C, получим Переобозначив переменную интегрирования , получим формулу Ньютона – Лейбница:
При вычислении определенных интегралов будем записывать:
Пример1. (геометрически это площадь фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды и отрезком оси Ox).
Пример2.