Рівняння Мурмана

Обчислити невідомі значення коефіцієнта екстинції та показника заломлення плівки металу за відомими спектрами пропускання та поглинання та заданими початковими наближеннями та можна методом Ньютона, використовуючи рівняння Мурмана.

Розглянемо нормальне падіння електромагнітної хвилі на поверхню ізотропної плівки, товщиною , нанесеної на скляну підкладку. Дослідимо пропускання та відбивання монохроматичної хвилі від цієї плоско паралельної плівки.

Ми вважаємо, що плівка є однорідною та характеризується комплексним показником заломлення , а поверхня плівки в контакті з повітрям є математично плоскою. Дана система схематично зображена на рис. 2.

Маємо 3 середовища розділені паралельними площинами, що відокремлені одна відносно одної (z = 0, z = d). Їх комплексні показники заломлення n₀, n, n_sub. Система координат вибрана наступним чином так, що вісь z напрямлена перпендикулярно до поверхні плівки z = 0 та z = d. Світло рухається вздовж осі OZ. Напрямок поширення хвилі вздовж осі OZ позначимо +, проти напрямку OZ позначимо −. З середовища 1 в додатньому z-напрямку падає плоска хвиля перпендикулярна до площини z = 0. В результаті відбивання на межах 0 і d, хвиля ділиться на дві: «додатню» та «від’ємну» що протилежно спрямовані. В середовищі 3 лише один напрям поширення хвилі - додатній. Відповідні амплітуди цих хвиль позначимо як . Причому

E_r1=E_r2, H_r1=H_r2.

Рис. 2. Хід променів в зразку по Мурману

Згідно рівнянь Мурмана [3] коефіцієнт відбивання та коефіцієнт пропускання двошарової системи підкладка-плівка можна описати наступними рівняннями:

(6)

Для розрахунку і методом Ньютона слід знайти елементи матриці Якобі. Для цього беруться відповідні частинні похідні з рівнянь по двох невідомим і :

. (7)

Вище описані рівняння стосуються загального випадку (маємо систему середовище - плівка - підкладка) для визначення показника заломлення та коефіцієнта екстинції металевої плівки. Однак, задля більшої точності обчислень спочатку слід використати метод Ньютона для знаходження реального показника заломлення та коефіцієнта екстинції підкладки, виходячи з початкових наближень. Ці початкові наближення легко вивести із закону Ламберта-Бугера-Бера.

Якщо врахувати що на експерименті ми вимірюємо енергетичні залежності та , то можемо записати:

,

. (8)

Вираз для коефіцієнта екстинції:

, . (9)

Відомо, що при взаємодії світла з металом коефіцієнт відбивання можна обчислити з формули Френеля:

. (10)

Отримуємо:

. (11)

Дані вирази мають силу при відсутності інтерференційних явищ в плівці металу. Отож ми отримали формули для врахування значень початкових наближень коефіцієнта екстинції підкладки та коефіцієнта заломлення підкладки :

,

тут  − коефіцієнти відбивання та пропускання підкладки,  − довжина хвилі випромінювання,  − товщина підкладки.

Якщо відомі значення і , то в результаті підстановки їх в рівняння Мурмана ми можемо отримати спектри відбивання та пропускання [2]. І навпаки, з відомих спектрів відбивання та пропускання можна легко обчислити і .