9.3. Простейшие одноканальные смо с отказами

Рассмотрим в качестве примера телефонную линию связи, на вход которой поступает простейший поток вызовов с интенсивность λ. Продолжительность разговора случайна и имеет экспоненциальное распределение с параметром . Эта система массового обслуживания может находиться в одном из двух состояний:

s₀- единственный канал обслуживания свободен,

s₁- канал занят, заявки отклоняются.

Граф состояний системы изображен на рис. 9.2, из которого следуют уравнения Колмогорова





Рис. 9.2.

Кроме того, p₀+p₁=1. Используя это равенство, исключим p1 из первого уравнения. Имеем

Подстановка позволяет получить уравнение с разделяющимися переменными

Решая его и делая обратную подстановку, находим

Постоянная интегрирования C определяется начальными условиями. Если при t = 0 канал связи свободен, т.е. p0(0) = 1, то

Поэтому решениями уравнений Колмогорова будут

Если величиной e^-можно пренебречь по сравнению с 1, то за длительность переходного процесса, предшествующего установлению стационарного режима в СМО, следует принять

При = 7,e^-= 0.001

Финальные вероятности состояний равны

Здесь обозначено =/.

Показатели эффективности СМО в стационарном режиме таковы:

- вероятность обслуживания -

- вероятность отказа в обслуживании -

- абсолютная пропускная способность -

- среднее число заявок в системе -

- среднее число занятых каналов - k_ср=z_ср;

- среднее время одного состоявшегося разговора - 1/μ;

- среднее время разговора с учетом всех вызовов (по формуле Литтла)

Рассмотрим небольшой числовой пример. Пусть ρ= 1. Это означает, что средняя периодичность поступления заявок и средняя продолжительность их обслуживания одинаковы. Казалось бы, что система сможет удовлетворить все или, по крайней мере, большинство заявок. Однако, как следует из приведенных формул в стационарном режиме половина заявок останется не обслуженной. Одновременно единственный канал СМО будет занят только наполовину. Этот результат является следствием случайного характера потока заявок и случайной продолжительности обслуживания. Положение не изменится радикально, если увеличить производительность канала в два раза. При ρ=0,5P_отк=0.333.

9.4. Простейшая многоканальная смо с отказами

На k-канальную СМО с отказами поступает простейший поток заявок с интенсивностьюλ. Время обслуживания заявок имеет экспоненциальное распределение с показателем . Состояние СМО (см. граф состояний на рис.9.3) нумеруются по числу заявок, находящихся в системе:

Рис. 9.3.

s₀- СМО свободна;

s₁- занят один канал, остальные свободны;

s_i- занятоiканалов, остальные свободны;

s_k- заняты все каналы, заявки на обслуживание не принимаются и в очередь не ставятся.

Ограничимся рассмотрением стационарного режима работы. В соответствии со схемой гибели и размножения финальные вероятности состояний системы равны:

Здесь, как и раньше =/.

Показатели эффективности работы СМО:

-вероятность отказа в обслуживании - P_отк=p_k;

- вероятность обслуживания - Q= 1-P_отк;

- абсолютная пропускная способность - A = Q;

среднее число заявок в системе и среднее число занятых каналов –

среднее время пребывания заявки в системе и среднее время обслуживания - _c=z_ср/.