2.3.6. Смешанные системы массового обслуживания

СМО с ограниченным временем ожидания характеризуется тем, что уменьшение числа заявок в ней происходит как в результате завершения обслуживания одной из заявок, так и в результате ухода заявок из очереди с интенсивностью v.

Если число заявок в системе k<n, то _k,k-1= k.. Если в очереди имеется r заявок (k=n+r), то переход из со­стояния S_k в состояние S_k-1 осуществляется или в результате за­вершения обслуживания одной из п заявок, или в результате ухода из очереди одной из r заявок, то есть

Таким образом, для СМО с ограниченным временем ожидания

(2.45)

Граф состояний системы изображен на рис. 2.6 (п=2).

Подставляя выражения (2.45) в формулы (2.16) и 2.17), как и в случае СМО с конечной очередью, получим

(2.46)

(2.47)

. (2.48)

Определим основные показатели эффективности системы. Сред­няя длина очереди

(2.49)

На каждую из L заявок, находящихся в очереди, действует по­ток уходов интенсивности v, то есть в среднем в единицу времени из очереди уходит Lv заявок. Следовательно, абсолютная пропуск­ная способность

; (2.50)

относительная пропускная способность

(2.51)

вероятность отказа в обслуживании

; (2.52)

среднее число занятых приборов

; (2.53)

вероятность того, что любая заявка будет обслужена,

(2.54)

При вычислениях в формулах (2.46) и (2.49) в качестве при­ближенного значения для бесконечных сумм берется сумма конеч­ного числа l–1 членов, а остаток оценивается следующим об­разом :

.

Из выражений (2.50) – (2.54) следует, что основные показа­тели СМО можно вычислить через Р_отк, причём для определения Р_отк используют таблицы с тремя входами: n, , .

СМО с ограниченным временем пребывания характеризуется тем, что заявка может уйти необслуженной как из очереди, так и после начала обслуживания. Интенсивность перехода данной си­стемы из состояния S_k в S_k-1 (уменьшения числа заявок)

Подставляя выражения (2.9) и (2.55) в формулы (2.16) и (2.17), можно определить вероятности состояний данной системы.

Если одновременно накладывается ограничение на время ожи­дания (пребывания) и длину очереди, то число состояний системы конечно и равно п+т+1, а интенсивности переходов определяют­ся формулами (2.45) или (2.55), в которых r = 1, 2, . . ., т. Типич­ным примером системы данного типа является вычислительное устройство, которое может одновременно обрабатывать п сооб­щений и имеет буферную память для хранения т сообщений. По­ток сообщений – простейший поток интенсивности , время обра­ботки одного сообщения , информация теряет свою ценность че­рез время . Граф состояний для случая n=2, m=3 изображен на рис. 2 .7.

2.3.7. Особенности применения моделей массового обслуживания

Рассмотренные модели массового обслуживания находят ши­рокое применение при исследовании надежности технических си­стем, организации их эксплуатации и использования по назначе­нию, а также при анализе и синтезе автоматизированных систем управления. Достаточно подробно вопросы практического приме­нения моделей СМО рассмотрены в работе [1].

При решении прикладных задач необходимо прежде всего пра­вильно определить, насколько аппроксимирующие предположения, принятые при разработке математических моделей СМО, приемле­мы для реальной системы и каким образом ее специфические осо­бенности можно учесть в типовой модели.

Основными аппроксимирующими предположениями при раз­работке моделей СМО были предположения о том, что все потоки событий являются простейшими. Широкое использование указан­ных предположений обусловливается следующими факторами.

1. Простейший поток событий, как уже отмечалось, носит пре­дельный характер и поэтому часто встречается в практических за­дачах. Так, например, Н. М. Седякин показал, что поток отказов элементов технических систем сводится к простейшему, если

, (2.56)

где t_i – среднее время наработки i-го элемента данного типа на отказ, а п – число элементов. Если n>10, то это условие выпол­няется и тогда, когда каждый из элементов отказывает через по­стоянные интервалы времени.

2. Простейший поток заявок ставит СМО в наиболее тяжелые условия. И. Н. Коваленко показал, что система, рассчитанная на обслуживание простейшего потока, будет обслуживать любой дру­гой поток с одинаковой интенсивностью более надежно.

3. При простейшем потоке заявок показатели эффективности СМО с отказами и ограниченным временем ожидания практически не зависят от вида закона распределения времени обслуживания, а определяются его средним значением. Показатели эффективности реальной СМО при простейшем потоке заявок не хуже значений этих показателей, вычисленных в предположении об экспоненци­альном распределении времени обслуживания.

4. При указанных предположениях можно получить аналитиче­скую модель системы и на основе ее исследования найти ее опти­мальные параметры. Простая модель позволяет разобраться в ос­новных закономерностях явления, наметить «ориентиры» для по­строения статистической модели системы, позволяющей учесть те особенности реальной системы, которые трудно (или невозможно) учесть при аналитическом исследовании. Сочетание простых ана­литических моделей и статистического моделирования вероятност­ных систем на ЭВМ — один из основных методов современного на­учного исследования.

При решении прикладных задач всегда необходимо учитывать возможность использования результатов исследования стационар­ного режима для оценки эффективности системы на конечных ин­тервалах времени. Характеристики стационарного режима с до­статочной для практики точностью можно использовать для про­цессов длительностью (34)1/ [1].

При исследовании СМО предполагалось, что обслуживающие приборы абсолютно надежны. Если вероятность успешного обслу­живания заявки Р<1, то ее влияние на эффективность СМО можно учесть через P_отк В этом случае

,

где Р⁰_отк — вероятность отказа для системы с абсолютно надежны­ми приборами (Р=1).

Все рассмотренные модели СМО относятся к классу так назы­ваемых разомкнутых систем, в которые поступает неограниченный поток заявок и его параметры не зависят от процесса обслужива­ния. Однако на практике часто встречаются системы, когда поток заявок ограничен и его параметры зависят от процесса обслужи­вания (замкнутые системы).

Типичным примером замкнутой системы является следующая система. Имеется п ремонтных мастерских, которые предназначены для обслуживания и ремонта т технических систем. Технические системы отказывают только в период эксплуатации с интенсивностью  (в период ремонта =0), производительность каждой мастерской . Число возможных состояний данной систе­мы m+1 (k=0, 1, 2, ..., т – число технических систем, требую­щих ремонта). Граф состояний данной системы для п=2, т=5 (рис. 2.8) свидетельствует о том, что для ее исследования нельзя использовать ни одну из рассмотренных моделей СМО. При ее ис­следовании необходимо непосредственно использовать выражения (2.16) и (2.17) для процесса «гибели и размножения».

П риведенный пример показывает, что при выборе модели СМО для решения конкретной задачи ошибки можно исключить, если построить размеченный граф состояний. На основе анализа разме­ченного графа состояний в некоторых случаях можно установить, что для исследования системы, по формальным признакам не от­носящейся к системам массового обслуживания, можно использо­вать одну из известных моделей СМО.

При решении прикладных задач следует также всегда отличать показатели эффективности L, от ограничений, накладывае­мых на параметры СМО: т, . Показатели L, исполь­зуются для оценки эффективности СМО, а параметры т, определяются спецификой процесса обслуживания и физическими свойствами заявок (например, емкость хранилищ в ремонтном ор­гане, время старения информации и так далее).

Задачи, решаемые с помощью моделей СМО, можно разделить на два основных класса. К первому классу относятся задачи ана­лиза эффективности систем и определения числа обслуживающих приборов, обеспечивающих требуемые значения показателей ее эф­фективности. Ко второму классу относятся задачи определения числа и типа (производительности) обслуживающих приборов.