2.4. Вывод формулы Литтла.

Универсальная формула Литтла (справедлива для любой системы без отказов) устанавливает связь между средними значениями числа заявок, времени пребывания и интенсивности поступления. Так для СМО в целом эта связь имеет вид: m=u, вывод которой приводится ниже.

Рассмотрим производную СМО и достаточно длинный интервал (0, t) ее функционирования. Пусть(t) — число заявок, поступивших в систему, а(t) — число заявок, покинувших ее за времяt.

Очевидно, что n(t)=(t)–(t) — число заявок в системе в момент времениt. С другой стороны, площадь между кривыми(t) и(t) (заштрихованная площадь) на интервале (0,t) есть общее (суммарное) время, проведенное всеми заявками в системе на момент времениt. Обозначим это общее время через(t).

Пусть_t— интенсивность поступления заявок в систему на интервале (0,t). Очевидно, что _t=.

Пусть u_t— среднее время пребывания заявок в системе на интервале (0,t). Тогдаu_t=.

Пусть m_t— среднее число заявок в системе на интервале (0,t). Тогдаm_t=. Из полученных равенств имеем:

.

Пусть существуют пределы =_t,u=u_tиm=m_t, что имеет место, если система имеет стационарный режим функционирования. Тогдаm=l, что и требовалось показать.

Теперь если под "системой", о которой шла речь выше, понимать "очередь" или "прибор", то получим соответствующие выражения для средней длины очереди (l=) и среднего числа заявок в обслуживающем приборе (=b).

14