Параметры и характеристики систем массового обслуживания

1. Параметры систем массового обслуживания

1.1. Общие положения.

Как отмечалось ранее (раздел "Основы моделирования") предметом изучения в курсе "Моделирование дискретных систем" являются Q-системы или системы массового обслуживания (СМО).

Системой массового обслуживанияназывается система, процесс функционирования которой является, по сути, процессом обслуживания, который состоит в предоставлении той или иной услуги, определяемой из функционального назначения системы. Объект обслуживания в СМО называетсятребованиемилизаявкой. Общепринятое графическое представление простейшей СМО имеет вид:

Процесс функционирования СМО включает в общем случае следующие этапы:

1. приход (поступление) требования;

2. ожидание (при необходимости) в очереди;

3. обслуживание в приборе;

4. уход требования из системы.

Изучение любой системы, в том числе и СМО, предполагает ее формализацию (описание), т.е. определение параметров системы, необходимых и достаточных для анализа характеристик ее функционирования.

Для формализации любой СМО необходимо описать:

1. процесс поступления заявок в систему;

2. процесс обслуживания заявок в системе;

3. дисциплину обслуживания.

1.2. Процесс поступления заявок.

Прежде чем описать процесс поступления заявок приведем необходимые обозначения и определения.

Пустьt₁,t₂,t₃, ... ,t_k, ... — моменты поступления в систему 1-го, 2-го, 3-го, ...,k-го, ... требований:

Обозначим через _k =t_k –t_k-1промежуток времени между моментами прихода (k–1)-го иk-го требований, который называетсяинтервалом приходаk-го требования (k= 1, 2, 3, ...).

Если интервалы прихода всех заявок являются постоянными, т.е. , то такой поток называетсядетерминированнымилирегулярным. Однако, как правило, интервалы прихода_kявляются случайными величинами, и соответствующий поток заявок называетсястохастическимилислучайным. Очевидно, что регулярный поток является частным случаем случайного потока.

Для описания стохастического потока (стохастического процесса поступления) заявок необходимо задать функцию распределения случайного в общем случае интервала прихода для каждой заявки:

.

Поток заявок, для которого функции распределения интервалов прихода всех заявок одинаковы, т.е.

называется рекуррентным. Другими словами, для рекуррентного потока интервалы прихода ( ) всех заявок распределены по одному и тому же закону.

Важная характеристика любого потока — это его интенсивность, которая обозначается через(t) и определяет среднее число заявок, поступающих в систему в единицу времени. Если интенсивность поступления(t) не зависит от времени, т.е.(t), то такой поток называетсястационарным.

Величина а, обратная интенсивности(а=1/), определяет среднее значение интервалов прихода илисредний интервал поступлениязаявок.

Если в каждый момент времени t₁,t₂,t₃, ... поступает только одна заявка, то такой поток называетсяординарным, в противном случае —групповым(могут приходить одновременно две или более заявок). В дальнейшем рассматриваются только рекуррентные, стационарные и ординарные потоки.

Поток заявок называется потоком без последействия, если заявки поступают независимо друг от друга или другими словами момент поступления очередной заявки не зависит от того, когда пришла последняя заявка и от того, сколько их пришло.

При анализе СМО важное место занимает так называемый простейший поток. Простейшимназывается поток, в котором интервалы поступления заявок распределены по экспоненциальному закону:

.

Очевидно, что параметр данного экспоненциального распределения является интенсивностью соответствующего простейшего потока.

Простейшийпоток является потокомрекуррентнымстационарнымординарнымибез последействияи, наоборот, любой рекуррентный стационарный, ординарный поток без последействия является простейшим.

Простейший поток обладает следующими свойствами.

1. Сумма (слияние) двух или более простейших потоков образует простейший поток, интенсивность которого равна сумме интенсивностей составляющих его простейших потоков.

2) Если из простейшего потока интенсивности  исключить каждую заявку с вероятностьюр(а с вероятностью 1–роставить), то как поток исключенных, так и поток оставшихся заявок, окажутся простейшими с интенсивностямири (1–р)соответственно:

3) Число заявокN(t) простейшего потока, поступающих в СМО за времяt, будучи случайной целочисленной дискретной величиной, распределено по закону Пуассона:

Поэтому очень часто простейший поток называют стационарным Пуассоновским потоком. Такое же выражение было получено (см. пособие "Математические основы моделирования дискретных систем") и для простейшего процесса чистого размножения, что позволяет утверждать: процесс чистого размножения является адекватной моделью простейшего потока.

Таким образом, для описания рекуррентного, стационарного и ординарного процесса поступления заявок необходимо в общем случае задать функцию распределения интервалов их поступления. Однако не всегда бывает известной функция распределения. В таких случаях вместо неизвестной функции распределения для описания входного потока задаются интенсивность (или средний интервала=1/) и коэффициент вариации (КВ)_аинтервалов поступления, что оказывается достаточным для многих теоретических и практических приложений. Более того, в большинстве аналитических исследований в качестве входного потока заявок рассматривается простейший поток, ибо только в этом случае удается получать сколько-нибудь содержательные результаты анализа СМО. А для описания простейшего потока достаточно задать интенсивность, т.к. при этом КВ_а1 в силу экспоненциального характера распределения интервалов поступления заявок.

Выделение используемых при анализе СМО потоков схематически представлено на рисунке: