- •1.Моделирование как метод научного познания. Понятие модели. Классификация моделей. Цели и задачи моделирования. [1/1]
- •2. Требования к математической модели. Основные этапы построения модели. Иерархия моделей. [1/1]
- •3. Построения общесистемной модели функционирования. [1/2]
- •4. Основные системные свойства: линейность, непрерывность, стационарность, детерминированность. Классификация математических моделей. Системные и конструктивные модели. [1/2]
- •5. Непрерывно-детерминированные модели (d-схемы). Уравнения вход-выход. Уравнения в пространстве состояний. [1/3]
- •6. Разностные уравнения. Пример построения конструктивной и машинной модели системы. [1/1]
- •7. Дискретно – детерминированные модели (f- схемы). Автоматы Милли и Мура. Разновидности детерминированных автоматов. [1/2]
- •8. Дискретно стохастические модели. (p- схемы). [1/1]
- •9. Z – детерминированные и y – детерминированные вероятностные автоматы. [1/2]
- •10. Марковские случайные процессы. Простейший поток отказов. [1/1]
- •11. Уравнения Колмогорова для определения вероятностей состояний системы. Пример. [1/3]
- •12. Непрерывно-стохастические модели (q-схемы). Основные понятия и определения. [1/3]
- •13. Обобщенные модели (а - схемы). Понятие агрегата. [1/1]
- •14. Структура агрегативной системы. Особенности функционирования. [1/3]
- •15. Построение и реализация моделирующего алгоритмов
- •16. Построение детерминированного и циклического моделирующего алгоритмов q-схем. [1/1]
- •17. Построение циклического моделирующего алгоритма
- •18. Построение синхронного моделирующего алгоритма
- •19. Построение спорадического моделирующего алгоритма
- •20.Цели и задачи имитационного моделирования. Имитационная модель, имитационная система. Архитектура имитационной системы. [1/2]
- •21. Общая характеристика метода статического моделирования. Пример построения моделирующего алгоритма. [1/2]
- •23. Метод получения псевдослучайных чисел с равномерным законом распределения. Методы середины квадрата и середины произведения. [1/1]
- •24. Конгруэнтные процедуры генерации псч. Мультипликативный и смешанный методы. [1/1]
- •25. Тесты проверки случайности последовательности псч с равномерным законом распределения. [1/1]
- •26. Тест проверки равномерности закона распределения.[1/1]
- •27. Тест проверки независимости последовательности псч[1/1]
- •28. Моделирование случайных событий. [1/2]
- •29. Моделирование Марковских цепей. [1/1]
- •30. Моделирование дискретных и непрерывных случайных величин с заданным законом распределения. [1/2]
- •31. Приближенные способы преобразования случайных чисел. [1/2]
- •32. Моделирование непрерывных случайных векторов. [1/1]
- •33. Моделирование дискретных случайных векторов
- •34. Сети Петри (n - схемы). [1/2]
- •35.Языки моделирования. Типовая схема архитектуры языка имитационного моделирования. Способы управления временем в модели системы. [1/2]
- •36.Сравнительный анализ языков имитационного моделирования. [1/2]
- •40. Моделирование процессов функционирования систем на базе n-схем. Структурный подход. [1/2]
10. Марковские случайные процессы. Простейший поток отказов. [1/1]
Пусть исследуемая система с течением времени меняет свое состояние, т.е. переходит из одного состояния в другое, причем заранее неизвестным случайным образом. Тогда говорят, что в системе протекает случайный процесс. Случайный процесс протекающий в системе называетсяМарковским, если для любого момента времени t0 вероятностные характеристики процесса в будущем зависит только от его состояния в данный момент времени t0 и не зависит от того когда и как система пришла в это состояние.
Рассмотрим Марковский случайные процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем. Предполагается, что возможно состояние систем можно перечислить или перенумеровать (z1,z2……) и переход системы из состояния в состояние происходит практически мгновенно (скачком), и моменты этих скачков (переходов) неизвестны заранее и могут принимать любые значения.
Пример: техническое устройство состоит из двух узлов. Каждый из них в случайный момент времени может выйти из строя. После чего практически мгновенно начинается ремонт узла, которое продолжается заранее неизвестное время.
Возможные состояния:
z0 – оба исправны.
z1 – первый ремонтируется, второй исправен.
z2 – второй ремонтируется, первый исправен.
z3 – оба ремонтируются.
Предполагается, что отказы узлов является независимыми и вероятность одновременного отказа двух узлов пренебрежимо мало. Последовательность отказов следующих один за другим в случайные моменты времени называются потоком отказов. Этот поток должен удовлетворять трем условиям:
1) Стационарность означает, что характеристики потока отказов не зависят от времени .
.
Для каждого узла выполняется =const, =const, i=1,2… Интенсивность потока отказов – это среднее число отказов приходящих в единицу времени.
; -число отказавших элементов за время Δt.
- число исправных элементов к моменту времени t.
2) Ординарность означает, что вероятностью наступления двух и более отказов в течение малого интервала времени Δt можно пренебречь.
3) Отсутствие последствия. Различные события (отказы или восстановления) появляются в те или другие моменты времени не зависимо друг от друга.
Поток отказов, который удовлетворяет трем названным условиям называют простейшим потоком отказов. Если все потоки событий (отказов или восстановлений) переводящих систему из одного состояния в другое – простейшие, то протекающий в системе процесс будет Марковским. 16
11. Уравнения Колмогорова для определения вероятностей состояний системы. Пример. [1/3]
Пример: техническое устройство состоит из двух узлов, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя, после чего, практически мгновенно, начинается ремонт узла, который продолжается заранее известное время.
Составим размеченный граф переходов:
Возможные состояния:
z0 – оба исправны.
z1 – первый ремонтируется, второй исправен.
z2 – второй ремонтируется, первый исправен.
z3 – оба ремонтируются.
Интенсивность потока отказов – это среднее число отказов на единицу времени.
- число отказавший элементов за время
- число исправных элементов к моменту времени t.
Pi(t) – вероятность того, что в момент времени t система находится в состоянии zi
Дифференциальные уравнения, в которых неизвестными являются вероятности pi(t) называют уравнениями Колмогорова
P0(t) – вероятность того, что в момент времени t система находится в состоянии z0
Дадим малое приращение t+∆t и найдём p0(t+∆t) – вероятность того, что система будет находиться в состоянии z0 в момент времени t+∆t
1. p0(t)[1-]
- выводящие потоки
- вероятность того, что за время система выйдет из состоянияz0
2. p1(t)
- Вероятность перехода системы из состояния z1 в состояние z0 за время
3. p2(t)
- Вероятность перехода системы из состояния z2 в состояние z0 за время
17
p0(t+∆t)= p0(t)[1-]+ p1(t) +p2(t)
Любое из этих уравнений можно отбросить и заменить на уравнение формировки p0+p1+p2+p3=1
Начальные условия p0(0)=1 p1(0)=p2(0)=p3(0)=0
Общее правило составлений уравнений Колмогорова: в левой части каждого уравнения стоит произведение вероятности какого-нибудь i-го состояния. В правой части сумма произведений вероятностей всех состояний, из которых идут стрелки в данное состояние умноженное на интенсивности соответствующих потоков событий, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из этого состояния, умноженное на вероятность данного i-го состояния.
Заменяя левые части в уравнениях нулями, получим систему линейных алгебраических уравнений, в которых неизвестными является финальные вероятности. Под финальной вероятностью понимают предел, к которому стремится функция pi(t)
Финальную вероятность состояния zi можно толковать как среднее относительное время пребывание системы в этом состоянии
|
0.4 |
0.2 |
0.25 |
0.15 |
|
2/5 |
1/5 |
1/4 |
3/20 |
|
Z0 |
Z1 |
Z2 |
Z3 |
Пример: граф состояний имеет вид
Определить финальные вероятности нахождения системы в состояниях 1,2 и 3 то есть
18
;;
Отбросим второе уравнение и запишем вместо него уравнение нормировки:
;
;
Это непрерывная, нелинейная, стационарная, стохастическая система
Эта модель является стохастической, т.к. каждой паре входящих состояний ставятся в соответствие лишь определённые вероятности реализации выхода и состояния Y и Z. Роль выходных сигналов играют события, которые составляют потоки отказов и потоки восстановлений, они переходят из одного состояния в другое.
19