36. Последовательные решения "дерево" игры.

Рекламные компании C и D принимают решения одновременно, но не зная, что, каждый должен сделать. Во многих экономических задачах решения принимаются после того, как сделал шаг другой игрок (последовательно).

Предположим, что С решает начинать или нет рекламную компанию до того, как D примет решение. При принятии решения D знает, что, выбрала С. Чтобы это знать надо построить “дерево” игры.

“Дерево” игры – это последовательность решения игры.

Возьмём матрицу:

“ Дерево” игры:

“Дерево” игры показывает последовательность принятия решения игроками. Первым принимает решение С, за ним D. Точка на дереве соответствует принятию какого-либо решения, называется узлом решения. D имеет 2-а узла решений. “Дерево” читается справа – налево.

Что выберут игроки в последовательной игре? Выигрыш С зависит от решения D, а D принимает решение после С. Если С не рекламирует, его выигрыш 60;40 – выигрыш зависит от того, насколько хорошо он просчитает какой ход сделает D. А D выберет рекламировать (его выигрыш 42). Зная, что D выбирает рекламировать, С будет рекламировать, при этом D пойдёт за ним, если ход правильно просчитан. C выбирает стратегию рекламировать по принципу обратной индукции.

В одномоментной и последовательной играх решения различаются (при прочих равных условиях), результат противоположный, т.к. матрица и “дерево” решают разные задачи. Чтобы понять их различия вводим некоторые понятия:

Информационная сеть – это набор узлов решений, между которыми выбирают участники игры.

Участник D может провести различия между двумя узлами, осуществляя определённые действия. Действия – это товар игрока в определённом узле решений, т.е. путь, который он выбирает.

Стратегия – правило, по которому игрок принимает решения действии для каждой из информационной сетей (здесь стратегия и действие совпадают).

У D в этой игре есть два выбора рекламировать или не рекламировать. И у него есть 4-е чистые стратегии:

1. подражание стратегии С;

2. никогда не рекламировать вообще;

3. всегда рекламировать;

4. выбирать противоположную стратегию стратегии С;

Равновесие по-Нешу в этой ситуации будут два варианта: 55;42 (С – не рекламирует, D – рекламирует) и 58,5;38,5 (С – рекламирует, D – не рекламирует).

При выборе С и D существует стратегия – невероятная угроза: в ответ на стратегию D – рекламировать, С – тоже выбирает рекламировать – это угроза для С, т.к. если D – выбирает стратегию рекламировать всегда, то у С будет самый маленький выигрыш. Но С может просчитывать стратегию D, т.о. для С стратегия рекламировать закрыта: если С знает, что такая угроза существует, то он заранее откажется от этого поведения, зная, что D – рекламирует. Эта угроза является невероятной, т.к. оба проиграют.

37. Повторяющиеся решения. Игры с бесконечным и конечным числом повторений.

Повторяющиеся игры – это игры, когда игра повторяется несколько раз, причём она может повторяться конечное и бесконечное число раз, но результаты анализа различны. Участники игры оценивают результаты своих действий во все предыдущие моменты и выбирают свои стратеги на основании ранее полученного опыта.

Фирмы С и D участвуют в повторяющейся одномоментной игре и повторяют её 2-а раза.

М атрица игры:

Поскольку фирмы во 2-ой игре могут принимать решения на основе

1-ой игры, то их стратегии могут изменяться. Т.о. в повторяющейся

игре возможности у игроков больше и количество стратегий

больше:

1-ая стратегия – “зуб за зуб” – игрок начинает с решения не

не рекламировать, последовательно выбирает ту стратегию,

которую выбрал его соперник в предыдущей период.

2-ая стратегия – “беспощадная” или “жестокая” – игроки решают сначала

выбирать не рекламировать, а затем могут выбрать не рекламировать, если другой

игрок не рекламировал раньше, и рекламировать всегда, если один игрок хотя бы раз

принял рекламу.

Если игра одномоментная, то преобладает решение – не учитывать совместных интересов двух фирм (С и D). Но, если опыт предыдущий учтён, то результаты меняются. Если игра повторяется, то любой из участников выигрывает, если другой не рекламирует, т.е. кооперативное действие игроков – не рекламировать, а наказание другого участника – это рекламировать.

1-ая и 2-ая стратегии имеют общие черты: они начинаются с кооперативного действия –не рекламировать, затем наказание одного из участников, который выбрал – рекламировать. Отличие этих стратегий в том, в “беспощадной” стратегии наказание более суровое. Если игра повторяется бесконечное число раз, то игроки приходят к решению кооперироваться, применять совместные действия.

Сделаем небольшое отступление. Чтобы продолжить обсуждение надо ввести некоторые понятия:

Владелец денег вкладывает их в банк и получает какой-то %. А если берёт деньги из банка, то платит %. Стоимость доллара меняется, она дешевеет со временем.

r – ежегодный процент.

Доллар завтра будет стоить 1+r, тогда стоимость денежной единицы через год = 1/1+r, через два года единица будет стоить 1/(1+r)².

Поэтому, если зарабатываем ежегодно какую-то сумму Х, на следующий год предшествующий период мы получим сумму Х + X/1+r + X/(1+r)² +…+ x/(1+r)^t = X/(1+r)^t = δ^t·x – ТЗ.

Коэффициент 1/1+r = δ – называется дисконт. Дисконтирование –приведение денег к единому моменту времени. Текущие значения (ТЗ) – это доход за определённый период времени. ТЗ – это величина течения дохода за момент t. Если время t увеличится до бесконечности, то сумма будет: δ^t·x, а предел X/1-δ.

Предположим, что С и D следуют “беспощадной” стратегии. В начальный момент обе фирмы не рекламируют, но если посчитать выигрыш в бесконечной игре, они никогда не рекламировать не будут. С и D получат по 50. 50/1-δ – это выигрыш. Допустим в первый период С – рекламирует, а D выбирает “беспощадную” стратегию – не рекламировать (С получит 55). Но т.к. в последующие периоды D – рекламирует, то наивысший выигрыш С – 45 в последующие периоды. Если С будет использовать эту стратегию, то С=55 + 45/1-δ – это выигрыш (если сравнить, то 2-ой выигрыш будет больше, чем 1-ый, если δ≥1/2, т.е. ‘беспощадную” стратегию выгодно использовать только в том случае, если δ≥50%).

В повторяющейся игре лучше – не рекламировать. А в одномоментной – рекламировать, т.к. рекламирование даёт выигрыш только в первый период, а в повторяющейся игре, если другой игрок проводит “беспощадную” стратегию, то рекламировать выгодно.

Может ли быть так, что сегодняшний выигрыш будет больше, чем проигрыши всех последующий периодов. Это может произойти, но только в одном случае, если очень большой дисконт (ссудный %), тогда настоящие деньги стоят очень дорого, тогда возможны риски, и индивидуальные интересы преобладают над совместными (рискнуть и прорекламировать).

В “беспощадной” стратегии необходимо наказание того игрока, который нарушил правила игры (начал рекламировать), чтобы удержать другого игрока от того, чтобы он не поставил свои интересы выше кооперативных. Но это маловероятно, тогда бесконечная игра рассматривается так: после окончания каждой игры существует возможность начать игру сначала – это возможность θ, тогда ожидаемые текущие значения (ТЗ) выигрыша при “беспощадной” стратеги будут равны 50 + 50θ + 50θ² +…, но а предел этой суммы будет равен 50/1-θ. Выигрыш в первой игре: 55 + 45θ + 45θ² +…, предел суммы равен 55 + 45/1-θ.

Если сравнить эти два выражения, то видим, что при замене 2-х букв δ на θ, получим выражения с конечным числом повторений.

Если вероятность продолжения игры ≥ ½, то игрокам лучше следовать стратегии - не рекламировать, иначе наказание будет большим – это игра с бесконечным числом повторений.

Если игра с конечным числом повторений (если знаем сколько раз повториться игра), то результат такой – существует период игры, когда нет возможности наказания другого участника, этот последний период аналогичен одномоментной игре, т.о. участники выбирают стратегию – рекламировать. В этом случае рациональное поведение игроков не зависит от их прошлых действий, поэтому в последний момент они обязательно будут рекламировать – это единственная стратегия. А если каждый период рассматривать как последний, то они будут рекламировать всегда (это может быть, если действие фирмы законодательно не оформлено).