Раздел 3. Основы зонной теории полупроводников Занятие № 3

Основные приближения зонной теории. Волновая функция электрона в периодическом поле кристалла. Теорема Блоха. Зона Бриллюэна. Энергетические зоны.

Литература: Бонч-Бруевич [1], гл.3, §§ 1-8; Киттель [11], гл. 9.

Дополнительные вопросы:

1. В чем состоят методы сильной и слабой связи?

2. Чем определяется ширина разрешенной зоны в методе сильной связи?

3. Чем определяется ширина запрещённой зоны в методе слабой связи?

4. В чем сходство и различие между импульсом и квазиимпульсом электрона в кристалле?

Законы дисперсии для важнейших полупроводников. Изоэнергетические поверхности. Тензор обратной эффективной массы. Плотность состояний. Особенности Ван-Хова.

Литература: Бонч-Бруевич [1], гл.3, §9.

Уравнения движения электронов и дырок во внешних полях. Метод эффективной массы. Искривление энергетических зон в электрическом поле. Движение электронов и дырок в магнитном поле. Определение эффективных масс из циклотронного (диамагнитного) резонанса. Связь зонной структуры с оптическими свойствами полупроводника.

Литература: Бонч-Бруевич [1], гл.4.

Уровни энергии, создаваемые примесными центрами в полупроводниках. Доноры и акцепторы. Мелкие и глубокие уровни. Водородоподобные примесные центры.

Литература: Бонч-Бруевич [1], гл.2, §9; "Барьеры", гл. 1,2.

Эти вопросы мы обсудили на втором занятии.

4. Равновесная статистика электронов и дырок в полупроводниках Занятие № 4

1.1 Функция распределения электронов. Концентрация электронов и дырок в зонах, эффективная плотность состояний. Невырожденный и вырожденный электронный (дырочный) газ. Концентрации электронов и дырок на локальных уровнях. Факторы вырождения примесных состояний.

Литература:

1. Барьеры [11], глава 1.

2. Бонч-Бруевич [1], гл.5.

Этот раздел не слишком сложный, однако строгое изложение отдельных пунктов требует довольно громоздких вычислений [1], которые могут затуманить суть дела для неподготовленного читателя. Для того чтобы подготовиться к восприятию [1], имеет смысл вначале прочесть, как минимум, первую главу книги "Барьеры" [11] (вообще-то, полезно было бы прочесть и последующие главы этой ясной и простой книжки).

Схема:

Что такое функция распределения электронов (дать определение). Написать выражение для функции распределения Ферми-Дирака, нарисовать график этой функции (§3; здесь и далее ссылки на главу 5 учебника Бонч-Бруевича [1]). Плотность состояний в зонах (§2). Концентрация электронов и дырок в зонах, эффективная плотность состояний (§§4-6).

На экзамене не требуется помнить и выписывать интегралы, приведенные в §§4-6. На мой взгляд, необходимо и достаточно выписать общий интеграл для концентрации через плотность состояний и функцию распределения (формула (4.1)) и уметь проиллюстрировать случаи невырожденного и вырожденного полупроводника графиками, приведенными на рис. 5.3 и 5.4 (§5 и §6). В параграфе 7 (вычисление плотности состояний в случае непараболического закона дисперсии) достаточно принять к сведению первый и три последних абзаца текста. Параграф 8 безусловно полезен для тех, кто изучает кинетические и оптические явления в квантующих магнитных полях. Всем остальным достаточно нарисовать и объяснить график зависимости плотности состояний в зоне проводимости в квантующем магнитном поле от энергии. У Б.-Б. [1] этого графика нет. Попробуйте нарисовать сами и сравнить с графиком в отсутствие магнитного поля.

Выразить концентрации электронов и дырок на локальных уровнях через функцию распределения и концентрацию примесей (начало §9). Знать, что в выражение для функции распределения входит отношение факторов вырождения g₁/g₀ заполненного и пустого примесного состояния, соответственно (формулы 9.1-9.3).

1.2 Положение уровня Ферми и равновесная концентрация электронов и дырок в собственных и примесных (некомпенсированных и компенсированных) полупроводниках.

Литература:

1. Барьеры [11], глава 1.

2. Бонч-Бруевич [1], гл.5.

Подразделы этого раздела входят в разные экзаменационные билеты, но настолько тесно связаны, что литература одна и та же, и схемы ответов могут быть близкими. Ниже привожу только те моменты, которые дополняют схему к подразделу 1.1.

Схема:

Положение уровня Ферми вычисляется из уравнения электронейтральности (§13 [1]). Например, в собственном полупроводнике из условия равенства концентраций электронов и дырок ; в полупроводнике, легированном только донорами, из условия , где – концентрация заряженных доноров, N_t – полная концентрация доноров, N₁ – концентрация доноров, заполненных электронами. Вычислив положение уровня Ферми, можно определить концентрации электронов и дырок в собственных и примесных (некомпенсированных и компенсированных) полупроводниках (§§13-18).

Многозарядные примесные центры (§§10-12). Определение (§10). Главная особенность многозарядных примесных центров состоит в том, что добавление, скажем, первого электрона изменяет потенциал примесного центра и, тем самым, приводит к появлению нового квантового состояния, которое может занять второй электрон и т.д.

Дополнительные вопросы:

1. Чему равно произведение концентраций свободных электронов и дырок np в невырожденном полупроводнике?

2. Выразить энергию Ферми через концентрацию электронов в вырожденном полупроводнике при низкой температуре.

3. Как получаются вырожденные полупроводники, в которых концентрация электронов n в зоне проводимости при низких температурах не зависит от температуры T? На первый взгляд, при понижении температуры электроны должны связываться на донорах, и концентрация свободных электронов должна стремиться к нулю n0 при T0.

4. Нарисовать зависимость положения уровня Ферми от температуры в некомпенсированном и частично компенсированном полупроводнике n-типа (привязать к зонной диаграмме).