1. Пл-ть комп. чисел.

опр. компл. числом z наз. выражение вида z=x+iy, где x,yR и i - мнимая единица.

опр. z=x+iy, тогда Re z=x - действит. часть, Jm z=y - мнимая часть z. зам. если Re z=0 - число чисто мнимое.

опр. комп. число x-iy наз. сопряженным к z=x+iy и обозн. .

опр. модулем. комп. числа наз. длина вектора его изображ. .

опр. аргументом наз. угол на кот. нужно повернуть положит. часть оси Ox до совпадения с вектором, изображ. комп. число z. Arg z.

опр. гл. аргументом наз. и обозн. arg z.

Тригоном. форма: ( ).

св-ва модулей:

св-ва аргументов: .

2. Предел пос-ти с комп. членами.

опр. задана посл-ть компл. чисел если каждому натур. числу по некот. правилу поставлено в соотв. единств. компл. число.

опр. Комп. число а наз. пределом посл-ти z_n если и обозн. .

опр. .

теор. задана посл-ть z_n=a_n+ib_n. Тогда т и т т, когда

теор. если .

док-во:

опр. .

3. Числ. ряды с комп. членами.

опр. числ. рядом наз. символ вида . Члены посл-ти наз. членами ряда.

опр. Сумма n первых членов ряда наз. n-ой част. суммой .

опр. числ. ряд наз. сх-ся если сущ. конечный предел посл-ти его част. сумм . В противном случае - расходящимся.

сх-ть числ. ряда эквивалентно сх-ти 2х числ. рядов с действит. членами, сост. из действит. и мнимой частей исх. ряда.

зам. числ. ряды комп. анализа обладают всеми привычными св-вами числовых рядов.

опр. - абс. сх-ся если сх-ся ряд из модулей членов данного ряда.

опр. если - сх-ся, а - не сх-ся, то сам ряд наз. условно сходящимся.

4. Функция комплексного переменного. опр. на мн-ве D задана ф-ция компл. перем. z если каждой т. мн-ва D по некот. правилу поставлено в соответствие одно или неск. компл. чисел w. w=f(z). При этом если z соотв. 1 число, то ф-цию наз. однозначной, в противном сл. - многозначной.

зам. задание ф-ции комп. переем. эквивалентно заданию 2х действ. ф-ций 2х переменных.

z=x+iy, w=f(x+iy)=U(x,y)+i*V(x,y); U(x,y)=Re f(z), V(x,y)=Jm f(z).

В отличии от ф-ций одной действ. переем., где принято изображать график на координатной пл-ти, для ф-ций компл. переем. принято откладывать знач. незав. переем. z на одной пл-ти, а знач. ф-ции на другой пл-ти. Ф-ция комп. переем. - отображение мн-ва D пл-ти z на мн-во E пл-ти w. Если разл. т. мн-ва D соотв. различные т. мн-ва E (биекция), то ф-ция наз. однолистной.

5. Линейная ф-ция. Ее геометрический смысл. Задана ф-ция w=az+b, abC - const, a0, D(w)=C.

1. a=1, w=z+b - ф-ция w осущ. параллельный перенос на радиус-вектор числа b.

2. a1 a. |a|=1; w=az+b; w-z₀=a(z-z₀), |w-z₀|=|z-z₀|; Arg(w-z₀)=Arg(a)+Arg(z-z₀); z₀=b/(1-a);

лин. ф-ция задает поворот вокруг точки b/(1-a)на угол Arg(a).

b. |a|1, Arg(a)=0; w-z₀=a(z-z₀), z₀=b/(1-a); |w-z₀|=|a|*|z-z₀|; Arg(w-z₀)=Arg(z-z₀);

Лин. ф-ция представляет собой гомотетию с центром в т. z₀ и коэфф., равным |a|.

c. запишем a в тригонометрической форме: a=ρ(cosφ+isinφ)= ρτ; |ρ|=|a|, Arg(ρ)=0; |τ|=1, Arg(τ)= φ=Arg(a); w-z₀=a(z-z₀); w-z₀= ρτ(z-z₀); введем доп. ф-цию h= ρ(z-z₀)+z₀; w-z₀= τ(h-z₀); т.о. w явл. композицией гомотетии с центром в т z₀ с коэфф. |a| и поворота вокруг т. z₀ на угол Arg(a).

зам. Рассм. лин. ф-цию вида w-z₀=a(z-z₀)+c. Данная ф-ция это композиция гомотетии, поворота и парал. переноса, то есть явл. преобразованием подобия.

6. Предел и непрерывность ф-ции комп. переем. Ф-ция w=arg(z). Задана однозначная ф-ция w=f(z) в некот. окр. т. z₀=x₀+iy₀.

Комп. число bC наз. пределом ф-ции w=f(z) в т. z₀ если ε>0 δ>0 z₀U(z₀), 0<|z-z₀|< δ =>|f(z)-b|< ε

опред. предела связано с понятием расстояния, с метрич. простр-вом, все осн. св-ва предела переносятся на случай комп. перем. Но здесь рассм. толкьо 3 вида пределов, в кот. участвует беск. удаленная точка:

1.

2.

3.

теор. задана т. z₀=x₀+iy₀ и число b=b₁+ib₂ и в окр. т z₀ опред. ф-ция f(z)=U(x,y)+iV(x,y). Тогда число b явл. пределом ф-ции f(z) в т. z₀ тогда и только тогда когда ф-ции U(x,y) и V(x,y) имеют пределы в т. (x₀,y₀) равные b₁ и b₂ соответственно.

опр. ф-ция f(z) наз. непрерывной в т. z₀ если .

w=arg(z); D(w)=C/{0}; z₀-x, x>0;

Возьмем произв.ε>0; δ=|z₀|sinε;

7. Понятие производной ф-ции комп. перем. Условия Коши-Римана. опр. если сущ. конечный предел отношения приращения ф-ции к приращению аргумента, когда последний стремится к 0, то он наз. производной ф-ции f(z) в т. z₀, и обозн. f’(z) .

В комп. анализ переносятся все правила дифф-ния, теор. о произв. сложной и обратной ф-ции.

опр. ф-ция w=f(z) наз. дифф-мой в т z₀ если ее приращение в этой т. можно представить в виде: , где A - const, α-б/м величина при Δz0. (дифф-сть эквивалентна наличию произв. ф-ции в т. z₀, причем A=f’(z₀))

теор. Условия Коши-Римана. Для того, что бы ф-ция f(z)=U(x,y)+iV(x,y) была дифф-ма в т. z₀=x₀+iy₀ необх. и дост. чтобы ф-ции U(x,y) и V(x,y) были дифф-мы в т. (x₀,y₀) и их частн. произв. в т. (x₀,y₀) удов. условиям:

док-во: 1.необх. дано:f(z)-диф-ма в т.z₀. док-ть:(*). , обозн.

, отсюда вытекает, что ф-ция U дифф-ма в т. , причем . Аналогично ф-ция V диф-ма в т. , т.о. следует (*).

2.дост. дано:U,V-диф-мы. док-ть:f(z)-диф-ма в т.z₀. нужно показ. что сущ. произв. f’(z₀). т.к. U и V диф-мы в т. , то их приращ. можно предст. в виде: , где . Сост. приращ. ф-ции f(z):

.

8. Геом. смысл Модуля аргумента. Понятие конформного отображения.

Задана ф-ция w=f(z) имеющ. произв. в т. z₀, f’(z₀)0. Предп. что из т. z₀ вых. кривая γ, имею. касат. в т. z₀. Рассм. произв. т. zγ. Тогда вектор будет явл. еденичным секущим вектором. |S_z|=1. Arg S_z=α_z т.к. в т. z₀ суш. касат., то сущ. . На пл-ти w: . Рассм. вектор - ед. вектор секущей дял кривой Г. Преобразуем Перейдем к пределу при zz₀ в S_w: . Т.о. в т. w₀ кривая Г имеет касат. для кот. справедл. соотношения: . Получим рав-во: . Т.о. при отображ. f(z) Arg f’(z₀) представл. собой угол поворота, кот. совершает касат. к кривой. То есть при отображ. f(z) сохр. угол между кривыми.

опр. отображение, сохраняющее углы, наз. конформным.

Геом. смысл модуля произв.: , т.о. |f’(z₀)| - коэфф. деформации (растяжения или сжатия) отображ. f(z) в т. z₀.

9. Показательная ф-ция и ее св-ва. Опред. ф-цию w=e^z след. образом: e^z=e^x+iy=e^x(cosy+isiny). (если Jm(z)=0, z=x, то e^z=e^x).

Осн. св-ва: 1. | e^z|= e^x; 2. если Re(z)=0, z=iy, то e^z=cosy+isiny (ф-ла Эйлера); 3. e^z явл. аналитичной во всей комп. пл-ти, причем (e^z)’= e^z; 4. ,док-во: ; 5. ф-ция e^z явл. периодической с периодом T₀=2πi; 6. ф-ция w=e^z осущ. конформное отображение комп. пл-ти;

10. Логарифмическая ф-ция. опр. число w наз. натуральным логарифмом комп. числа z если e^w=z и обозначается w=Ln z.

теор. любое, отличное от нуля, комп. число z .

док-во:

, что и требовалось доказать.

св-ва: 1. w=Ln z явл. многозначной. 2.

опр. главным логарифмом наз. значение логарифма опред. по формуле .

св-ва главного логарифма: 1. Гл. логарифм определен . 2. Гл. логарифм явл. непрерывной ф-цией на всей комп. пл-ти с разрезом вдоль отриц. действит. полуоси. 3. Гл. логарифм явл. аналит. ф-цией во всей комп. пл-ти с разрезом вдоль отриц. действит. полуоси, причем производная .

11. Тригонометрические ф-ции. синус комп. числа z опред. по формуле: ;

косинус комп. числа z оред. по формуле: ;

зам. данные определения естественны ( ).

Осн. св-ва: 1. cos - четная ф-ция, sin - нечетная ф-ция. 2. sin и cos явл. периодическими с периодом 2π. 3. Для sin и cos сохр. все привычные тригоном. тождества (как ). 4. sin и cos явл. аналит. во всей комп. пл-ти. 5. sin и cos явл. неограниченными.

опр. гиперб. косинусом наз. величина .

6.

12. Интеграл от ф-ции комп. перем. Условия его сущ.

На пл-ти комп. перем. задана спрямляемая кривая Г и вдоль этйо кривой определена ф-ция w=f(z). Разобьем Г точками z₀,…,Z_n на част. дуги и выберем на каждой из них точку c_k, k=1,…,n. Составим след. сумму .

опр. Сумма вида σ наз. интегр. суммой для w=f(z) на кривой Г соотв. данному разбиению кривой на част. дуги и выбору т. c_k. Обозн. наиб из длин .

опр. если сущ. конечный предел инегр. сумм σ при λ0, то его наз. интегралом от f(z) по кривой Г и обозн. .

теор. если Г - гладкая кривая на пл-ти комп. перем., а f(z) - непрерывна на Г, то сущ интеграл .

док-во: - ур-ние Г, . Разобъем кривую Г т. z₀,...,z_n на част. дуги. Выберем на каждой из них т. c_k, k=1,…,n. И пусть на Г задана непр. ф-ция . Введем обозн.: . Сост. интегр. сумму ; Введем обозн.: . Заметим, что - интегр. сумма для ф-ции вдоль кривой Г, а - для . Т.к. f(z) непрер-на вдоль Г, то непрерывны и , а значит по теор. о сущ. криволин. интегр. 2 рода сущ. пределы: , d - диаметр разбиения Г на част. дуги. Т.к. .

зам. из док-ва видно, что вычисл. интегр. от ф-ции комп. перем. сводится к вычисл. 2х криволин. интегр. 2 рода.

зам.: .

13. Интегральная теор. Коши.

теор. Коши: Пусть ф-ция f(z) аналитична в односвязной обл. D конечной пл-ти и Г -замкн. спрямл. аривая целиком лежащая в D. Тогда .

опр. D - наз. односвязной если любая кусочно-гладкая простая замкн. кривая целиком лежаая в D ограничивает обл., все точки кот. принадлежат D. зам. односвязнйо наз. обл. если ее граница состоит из одной простой замкн. кривой. опр. обл. наз. n-связной (многосв.) если ее граница состоит из n замкн. кривых, не имеющих общих точек.

док-во: при условии, что f’(z) непрерывна в D, f(z)=U(x,y)+iV(x,y) т.к. f(z) аналит., то ф-ции U(x,y) и V(x,y) - дифф-мые. - непрерывны, то дял каждого криволин. интегр. справедлива формула Грина: .

, в силу аналитичности f(z), для нее вып. все условия Коши-Римана:

, что и требовалось док-ть.

зам. теор. Коши остается в силе и в случае многосвязной обл-ти при условии, что кривая Г огрна. обл. целиком сост. из т. D. Сл.1: если Г₁ и Г₂ спрямл. кривые целиком лежащие в обл. D аналитичности f(z) имеющие общий конец и начало, то , интеграл не зависит от пути интегрирования. Сл.2: f(z) аналит. в двусвязной обл. D, границей кот. явл. кривые Г и γ. Тогда .

14. Первооброзная. Формула Ньютона-Лейбница.

теор. если f(z) аналитична в обл. D то F(z) так же аналитична в D, причем справедливо равенство F’(z)=f(z) zD.

опр.: ф-ция Ф(z) наз. первообразной для f(z) если она аналитична в обл. D и справедливо р-во: Ф’(z)=f(z) zD.

Вспомогат. фундам. теор.: .

док-во:

теор.: Если F(z) и Ф(z) явл. первообразными для f(z)в обл. D, то Ф(z)=F(z)+c, c=const.

ф-ла Ньютона-Лейбница: Г - произв. кривая с началом в т. z₁ и концов в т z₂ и f(z) аналитична в некот. обл. D содержащей Г. Тогда: .

15. Интегральная формула Коши.

Теор. Пусть ф-ция f(z) аналитична в односвязн. обл. D и на ее границе Г, тогда aD справеливо .

док-во: рассм. произв. aD. Выберем произв. ε>0, т.к. f(z) аналит. в т. a, то и непрерывна в ней, тогда ε>0 δ>0 zD |z-a|<δ => |f(z)-f(a)|<ε. Рассм. круг с ц. в т. a радиуса r<δ, K(a,r) и обозн. его границу Г. Рассм. ф-цию f(z)/z-a - аналит. в обл. D, за искл. т. a, а значит аналит. в двусвязн. обл., получ. из D исключением круга K(a,r). Тогда по следств. из теор. Коши: . Покажем, что он равен f(a):

; Покажем, что первое слагаемое = 0

зам. если ф-ция аналит. в D и на ее границе, то она однозн. опред. через свои знач. на границе Г: .

зам. если т. a лежит во внешности контура Г, то .

16. Ф-циональный ряд в комп. пл-ти. Равномерная сходимость.

опр. ф-циональным рядом наз. символ вида . опр. n-ой част. суммой ф-ного ряда наз ф-ция . Рассм. произв. т. z₀D. Тогда ф-цион. рду ставится в соотв. числовой ряд, если он сх-ся, то т. z₀ наз. т. сходимости. опр. мн-во Е всех т. сх-ти ряда наз. обл-тью сх-ти ф-ного ряда. опр. ф-ция S(z) опред. на мн-ве Е для кот. S_n(z)=S(z) zD наз. суммой ф-ного ряда. опр. ф-ный ряд наз. равномерно сх-ся на мн-ве М если вып. условия: 1. S(z) сх-ся на М. 2. .

теор. ф-ный ряд сх-ся равномерно к S(z) на мн-ве М т и т т, когда .

теор. Признак Вейерштрасса. Пусть ряд , тогда zМ сущ. сх-ся знакоположит. ряд такой, что |f_n(z)|<a_n, тогда данный ф-ный ряд сх-ся равномерно на мн-ве М.

св-ва равн. сх-ся рядов: теор. если ряд сх-ся равн. на М и ф-ция f_n(z) непрерывна на М, то сумма этого ряда явл. непрерывной ф-цией на М.

Лемма: пусть ф-ный ряд сх-ся равн. на спрямляемой кривой Г и каждая f_n(z) непр-на на Г, тогда этот ряд можно почленно интег-вать вдоль кривой Г: .

теор. ф-ный ряд рав-но сх-ся в обл. D и ф-ции f_n(z) аналит. в этой обл., тогда сумма ряда S(z) так же аналит. в обл. D, причем .