6. Теорема котельникова

В технике цифровой обработки аналоговый сигнал подвергается дискретизации. В этой связи существенным является вопрос об интер­вале дискретизации сигналов различной формы.

Ответом на заданный вопрос является теорема Котельникова, кото­рая формулируется следующим образом:

Непрерывная функция времени со спектром, ограниченным , может быть полностью представлена отсчетами с интервалом (или ).

Соотношение называют постоянной Котельни­кова.

Доказательство теоремы базируется на теории обобщенных рядов Фурье.

Запишем представление в виде обобщенного ряда Фурье:

(6.1)

Выберем в качестве базисной функции

,

где - интервал дискретизации;

- верхняя частота спектра функции ;

- числа натурального ряда: 0, 1, 2... и представим в виде ряда

. (6.2)

Здесь - выборка функции в точке . Покажем, что ряд (6.2) является обобщенным рядом Фурье, т.е. - ортогональная функция, а являются коэффициента­ми обобщенного ряда Фурье.

Проверим ортогональность

В самом деле, легко показать(*), что

при

и, таким образом .

Покажем, что - выборки функции являются коэффициентами обобщенного ряда Фурье .

Формула обратного преобразования Фурье дает значение функции в любой заданной точке, например, в точке .

(6.3)

-Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Ф.-М., 1963.

Учитывая, что спектр согласно определению ограничен и подставляя в (6.3) значение , получим

. (6.4)

Изменим порядок интегрирования в (6.4):

(6.5)

Рассмотрим внутренний интеграл в (6.5):

(6.6)

Подставляя (6.6) в (6.5), получаем окончательно:

(6.7)

Напомним, что

Таким образом, являются коэффициентами обобщенного ря­да Фурье при разложении в базисе и мы можем представить функцию со спектром, ограниченным в, виде ряда Фурье:

(6.8)

Множество является спектром функции и однознач­но ее характеризует, следовательно, по известному множеству можно восстановить функцию .

Восстановление аналоговой функции по ее отсчетам (выборкам).

Пусть сигнал со спектром, ограниченным , подверга­ется дискретизации с интервалом (рис.6.1).

Исходная непрерывная функция показана пунктиром.

Функцию можно восстановить с достаточной степенью точности.

Рис.6.1

Просуммируем члены ряда (6.8).

Обозначим восстановленную функцию :

(6.9)

Функция в точках равна 1,

в точках кратных и т.д. обращается в 0. Таким образом , отображенная рядом (6.9) имеет вид (рис.6.2).

Рис. 6.2

6.1 Аппаратурная реализация процесса дискретизации сигнала и его последующего восстановления по отсчетам

Принцип действия системы дискретизация - восстановление пояс­няется на рис.6.3.

1.Электронный ключ, замыкающий цепь с интервалом . 2. Фильтр нижних частот (ФНЧ).

- исходный сигнал, подвергаемый дискретизации.

- выборки.

- восстановленный сигнал.

Рис. 6.3

Электронный ключ 1 производит выборки сигнала в моменты , и на выходе его получаем последовательность импульсов с амплитудой и длительностью , которые подаются на приемном конце линии на ФНЧ. С выхода ФНЧ получаем последова­тельность сигналов вида

, (6.10)

которые суммируются со сдвигом во времени и образуют вос­становленный сигнал .

Р ис. 6.4

Рассмотрим механизм образования на выходе ФНЧ сигнала вида (6.10). Полагая ФНЧ идеальным, зададим его характеристики следующим образом:

;

граничная частота фильтра ;

- наклон фазовой ха­рактеристики фильтра, определяющий время прохождения сигнала через фильтр (время запаздывания).

Определим импульсную характеристику фильтра с заданными параметрами:

Зададим

В этом случае импульсная характеристика ФНЧ будет равна

,

а в момент соответственно:

(6.11)

Таким образом, отклик идеального ФНЧ с заданными выше параметрами на воздействие импульса с амплитудой будет равен

а это и есть член ряда Котельникова.