Задание 3. Задача о назначениях

Четверо рабочих могут выполнять четыре вида работ. Стоимости с_ij выполнения i-м рабочим j-ой работы приведены в ячейках диапазона A1:D1.

Строки соответствуют рабочим, а столбцы – работам. Необходимо составить план выполнения работ так, чтобы все работы были выполнены, каждый рабочий был загружен только на одной работе, а суммарная стоимость выполнения всех работ была минимальной.

Данная задача является сбалансированной, т.е. число работ совпадает с числом рабочих. Если задача не сбалансирована, то перед началом решения ее необходимо сбалансировать, введя недостающее число фиктивных строчек или столбцов с достаточно большими штрафными стоимостями работ.

Для решения данной задачи построим ее математическую модель. Пусть переменная х_ij =1, если i-м рабочим выполняется j-я работа, и х_ij =0, если i-м рабочим не выполняется j-я работа. Тогда модель имеет следующий вид:

Минимизировать

П ри ограничениях:

j1,4 i 1,4

х_ij 0,1

Для решения этой задачи с помощью средства поиска решений отведем под неизвестные диапазон ячеек F2:I5 (Рис.21).

Рис.21. Задача о назначениях

В ячейку J1 введем целевую функцию

=СУММПРОИЗВ(F2:I5;A1:D4)

вычисляющую стоимость работ.

Введем формулы, задающие левые части ограничений:

=СУММ(F2:I2)
=СУММ(F3:I3)
=СУММ(F4:I4)
=СУММ(F5:I5)
=СУММ(F2:F5)	=СУММ(G2:G5)	=СУММ(H2:H5)	=СУММ(I2:I5)

На ячейки $F$2:$I$5 установим формат = целое число

Выберем команду Сервис, Поиск решения и заполним диалоговое окно Поиск решения.

• В окне Параметры установите флажок Линейная модель.

• Установить целевую функцию $J$1

• Равной Минимальному значению

• Изменяя ячейки $F$2:$I$5

• Ограничения $F$2 : $I$5<= 1

• $F$2 : $I$5>= 0

$F$6:$I$6 =1

$J$2:$J$5 =1

• Выполнить

Задание 4. Планирование штатного расписания

Авиакомпании требуется определить, сколько стюардесс следует принять на работу в течение 6 месяцев при условии, что любая их них должна пройти предварительную подготовку. Потребности в количестве человеко-чаов летного времени для стюардесс известны: в январе –8000, в феврале – 9000, в марте – 8000, в апреле – 10000, в мае – 9000, в июне 12000.

Подготовка стюардессы к выполнению своих обязанностей занимает 1 месяц. Следовательно, прием на работу должен, по крайней мере, на один месяц опережать ввод стюардессы в строй. Кроме того, каждая стюардесса должна в течение месяца, отведенного на ее подготовку, пройти 100-часовую практику непосредственно во время полетов. Таким образом, за счет каждой обучаемой стюардессы в течение месяца освобождается 100 человеко-часов летного времени, отведенного для уже обученных стюардесс.

Каждая полностью обученная стюардесса в течение месяца может иметь налет 150 до часов. Авиакомпания в начале января уже имеет 60 опытных стюардесс. Установлено, что приблизительно 10% обучаемых стюардесс по окончании обучения увольняются по каким-либо причинам. Опытная стюардесса обходится авиакомпании в 800$, а обучаемая – в 400 $ в месяц. Необходимо спланировать штат авиакомпании таким образом, чтобы минимизировать издержки за отчетные 6 месяцев.

Для данной задачи также можно разработать математическую модель, но ее удобнее проанализировать в более развернутой форме (рис.22).

Рис.22. Планирование штатного расписания

• Отведем диапазон ячеек В3:В8 под число новых стюардесс.

• В ячейку В2 введем число стюардесс, работавших в декабре.

• В диапазон ячеек D3:D8 вычислим число стюардесс, работающих в текущем месяце, введя в ячейки D3 , D4 формулы:

=В2

=D3+0.9*B3

• Скопируем последнюю на диапазон D5:D8

• В ячейки F12 , G12 введем допустимый налет обучаемой и работающей стюардесс.

• В диапазоне Е3:Е8 вычислим налет по месяцам, введя в ячейку Е3 формулу

=D3*$G$12+B3*$F$12

• Скопируем последнюю на диапазон Е4:Е8

• В ячейки D12, E12 введем затраты на обучение и работу стюардессы

• В диапазоне F3:F8 вычислим затраты по месяцам, введя в ячейку F3 формулу

=D3*$E$12+B3*$D$12

• Скопируем последнюю на диапазон F4:F8

• Вычислим суммарные затраты за планируемый период в ячейке F9 по формуле:

=СУММ(F3:F8)

Выбираем команду Сервис, Поиск решения. Заполним открывшееся окно Поиск решения:

Целевая функция : $F$9

Равной - Минимизированному значению

Изменяя ячейки - $B$3:$B$8

Ограничения - $B$3:$B$8= целое

$B$3:$B$8 >=0

$E$3:$E$8 >=$C$3:$C$8

Выполнить.

Согласно расчетам фирма в последний месяц планового периода должна взять на обучение 17 новых стюардесс.