Вопрос 20. Вынужденные колебания гармонического осциллятора под действием синусоидной силы. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Резонанс.

Вынужденные колебания осциллятора под действием синусоидальной силы. ; ma = F ; m d2 x / dt (ст.2) = F ; Fупр = - kx ; Fтр = - b dx / dt ; F = F0 sinΩt ; (d2 x / dt (ст.2)) + (2 БЕТА dx / dt) + w 0 (ст.2) = (F0 / m) sinΩt ; Это дифференциальное уравнение описывает вынужденные колебания. В общем случае общее решение этого неоднородного дифференциального уравнения имеет вид: X(t) = X1(t) + X2(t) ; X1(t) является общим решением однородного диф. уравнения, описывающего свободный гармонический затухающий осциллятор. Видно, что после начала действия вынуждающей силы возникает сложный колебательный процесс, состоящий из суммы 2х колебаний — затухающего колебания X1(t) с частотой wt и незатухающего колебания с частотой Ωt. X1(t) за достаточно небольшой промежуток времени затухает и остается только одно колебание с частотой вынужденной силы Ω0. Это время, в течении которого X1(t) затухает, называется временем установки вынужденных колебаний. Чем больше добротность осциллятора, тем больше время установления ТАУ~10 Q/w0 (это время, в течении которого амплитуда затухающего колебания уменьшится в 100 раз).

В общем случае установившееся вынужденное колебание имеет вид:

X = A sin (Ωt + ФИ) ; непосредственно подставляя это выражение в дифференциальное уравнение вынужденного колебания можно получить:

A = F0 / m (корень (w 0 (ст.2) — Ω(ст.2) + ФИ БЕТА (ст.2) Ω (ст.2)) ;

tgФИ = - 2 БЕТА Ω / (w 0 (ст.2) — Ω (ст.2))

1. при Ω=0 ; A = F0 / m w 0 (ст.2) = F0 / k — статическое смещение.

2. при ΩàБЕСКОНЕЧНОСТЬ ; Aà0 ;

Максимум амплитуды вынужденных колебаний достигается при частоте

Ω = (корень w 0 (ст.2) — БЕТА (ст.2)) ;

При частоте w = (корень w 0 (ст.2) — БЕТА (ст.2)) амплитуда достигает максимума: Amax = F0 / 2 m БЕТА Ω

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты вынужденной силы с соответственной частотой колебаний системы называется резонансом. Амплитуда колебаний при резонансе зависит от затухания, чем оно больше, тем меньше амплитуда. При нулевом затуханиии амплитуда колебаний при резонансе достигает бесконечно большой величины.

____________

Чтобы в реальной колебательной системе осуществлять незатухающие колебания, надо компенсировать каким-либо потери энергии. Такая компенсация возможна, если использовать какой-либо периодически действующего фактора X(t), который изменяется по гармоническому закону:

При рассмотрении механических колебаний, то роль X(t) играет внешняя вынуждающая сила

(1)

С учетом (1) закон движения для пружинного маятника (формула (9) предыдущего раздела) запишется как

Используя формулу для циклической частоты свободных незатухающих колебаний прижинного маятника и (10) предыдущего раздела, получим уравнение

(2)

При рассмотрении электрического колебательный контура роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя соответсвующим образом периодически изменяющаяся по гармоническому закону э.д.с. или переменное напряжение

(3)

Тогда дифференциальное уравнение колебаний заряда Q в простейшем контуре, используя (3), можно записать как

Зная формулу циклической частоты свободных колебаний колебательного контура и формулу предыдущего раздела (11), придем к дифференциальному уравнению

(4)

Колебания, которые возникают под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся э.д.с., называются соответственно вынужденными механическими и вынужденными электромагнитными колебаниями.

Уравнения (2) и (4) приведем к линейному неоднородному дифференциальному уравнению

(5)

причем далее мы будем применять его решение для вынужденных колебаний в зависимости от конкретного случая (x0 если механические колебания равно F0/m, в случае электромагнитных колебаний - Um/L).

Решение уравнения (5) будет равно (как известно из курса дифференциальных уравнений) сумме общего решения (5) однородного уравнения (1) и частного решения неоднородного уравнения. Частное решение ищем в комплексной форме. Заменим правую часть уравнения (5) на комплексную переменную х0eiωt :

(6)

Частное решение данного уравнения будем искать в виде

Подставляя выражение для s и его производных ( и ) в выражение (6), найдем

(7)

Поскольку это равенство должно быть верным для всех моментов времени, то время t из него должно исключаться. Значит η=ω. Учитывая это, из формулы (7) найдем величину s0 и умножим ее числитель и знаменатель на (ω02 - ω2 - 2iδω)

Это комплексное число представим в экспоненциальной форме:

где

(8)

(9)

Значит, решение уравнения (6) в комплексной форме будет иметь вид

Его вещественная часть, которая является решением уравнения (5), равна

(10)

где А и φ определяются соответственно формулами (8) и (9).

Следовательно, частное решение неоднородного уравнения (5) равно

(11)

Решение уравнения (5) есть сумма общего решения однородного уравнения

(12)

и частного решения уравнения (11). Слагаемое (12) играет значительную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, которое определяется равенством (8). Графически вынужденные колебания изображены на рис. 1. Значит, в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой ω и являются гармоническими; амплитуда и фаза колебаний, которые определяются уравнениями (8) и (9), также зависят от ω .

Рис.1

Запишем выражения (10), (8) и (9) для электромагнитных колебаний, учитывая, что ω02 = 1/(LC) и δ = R/(2L) :

(13)

Продифференцировав Q=Qmcos(ωt–α) по t, получим силу тока в контуре при установившихся колебаниях:

(14)

где

(15)

Уравнение (14) может быть записано как

где φ = α – π/2 — сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением (см. (3)). В соответствии с уравнением (13)

(16)

Из (16) следует, что ток отстает по фазе от напряжения (φ>0), если ωL>1/(ωС), и опережает напряжение (φ<0), если ωL<1/(ωС).

Выражения (15) и (16) можно также вывести с помощью векторной диаграммы. Это будет осуществлено далее для переменных токов