§ 26. Космические скорости

Для запуска ракет в космическое пространство надо в зависимости от поставленных целей сообщать им определенные начальные скорости, называемые космическими.

Первой космической (или круговой) скоростью ₁ называют такую минимальную скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно могло двигаться вокруг Земли по круговой орбите, т. е. превратиться в искусственный спутник Земли. На спутник, движущийся по круговой орбите радиусом г, действует сила тяготения Земли, сообщающая ему нормальное ускорение ²₁/r . По второму закону Ньютона,

Если спутник движется вблизи поверхности Земли, тогда r  Ro (радиус Земли) и g=GM/R₀² (см. (25.6)), поэтому у поверхности Земли

Первой космической скорости недостаточно для того, чтобы тело могло выйти из сферы земного притяжения. Необходимая для этого скорость называется второй космической.

Второй космической (или параболической) скоростью v₂ называют ту наименьшую скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно могло преодолеть притяжение Земли и превратиться в спутник Солнца, т. е. чтобы его орбита в поле тяготения Земли стала параболической. Для того чтобы тело (при отсутствии сопротивления среды) могло преодолеть земное притяжение и уйти в космическое пространство, необходимо, чтобы его кинетическая энергия была равна работе, совершаемой против сил тяготения:

откуда

Третьей космической скоростью v₃ называют скорость, которую необходимо сообщить телу на Земле, чтобы оно покинуло пределы Солнечной системы, преодолев притяжение Солнца. Третья космическая скорость v₃=16,7 км/с. Сообщение телам таких больших начальных скоростей является сложной технической задачей. Ее первое теоретическое осмысление начато К. Э. Циолковским, им была выведена уже рассмотренная нами формула (10.3), позволяющая рассчитывать скорость ракет.

Вопрос 15. Энергия системы, совершающей колебательное движение.

Энергия колебательного движения.

Учитель. Определимся теперь, как изменяется энергия колебательного движения. Мы видели, что если тело, при­крепленное к пружине, было перво­начально отклонено от положения равновесия на расстояние А, на­пример, влево, то оно, пройдя через положение равновесия, откло­нится вправо. И мы утверждали, что и вправо оно отклонится на расстояние А. Но откуда это сле­дует? Почему отклонения вправо и влево при колебаниях непременно должны быть одинаковыми? Это, оказывается, следует из закона со­хранения энергии.

Из предыдущей главы мы знаем, что потенциальная энергия сжатой или растянутой пружины равна , где k—жесткость пружины и x — ее удлинение. В нашем при­мере (см. рис. 151) в крайнем левом положении удлинение пружины х=-А, следовательно, потенциальная энергия равна - . Ки­нетическая энергия в этот момент равна нулю, потому что нулю равна скорость. Значит, потенциальная энергия  это полная механи­ческая энергия системы в этот момент.

Так как мы условились, что си­ла трения равна нулю, а другие силы уравновешены, то нашу систему можно считать замкнутой и ее полная энергия при движении не может измениться. Когда тело при своем движении окажется в край­нем правом положении (х=А), его кинетическая энергия снова будет равна нулю и полная энергия опять равна потенциальной. А пол­ная энергия не может измениться.

Значит, она снова равна . Это и означает, что и вправо тело отклонится на расстояние, равное А.

В положении равновесия, на­против, потенциальная энергия рав­на нулю, потому что х=0 (пружина не деформирована!) В этом поло­жении полная энергия тела равна его кинетической энергии , где т — масса тела и V_m— его скорость (она в этот момент максимальна). Но эта кинетическая энергия тоже должна иметь значение, равное .

При колебательном движении происходит, следовательно, превра­щение кинетической энергии в потен­циальную и обратно. В любой же точке между положениями равно­весия и максимального отклонения тело обладает и кинетической энер­гией и потенциальной, но их сумма, т. е полная энергия в любом положении тела, равна . Полная механическая энергия W колеблю­щегося тела пропорциональна квад­рату амплитуды его колебаний: W= .

Из закона сохранения энергии следует  интересное  соотношение между амплитудой колебаний А и максимальной скоростью V_m ко­леблющегося тела (оно нам будет необходимо в дальнейшем).

Как мы видели, =  отсюда  = , или = .