![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 1. Численные методы и особенности использования эвм
- •Глава 2. Решение нелинейных уравнений с одной переменной 23
- •Глава 3. Методы приближения, интерполяции и аппроксимации функций 47
- •Глава 4. Численное интегрирование 75
- •Глава 5. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений 108
- •Глава 6. Численное дифференцирование 139
- •Глава 7. Методы численной оптимизации 150
- •Предисловие
- •Глава 1. Численные методы и особенности использования эвм в решении математических задач
- •1.1. Математическое моделирование и численные методы
- •1.2. Общая постановка и понятие устойчивости задач вычисления
- •1.3. Структура погрешности решения задач вычисления
- •1.4. Абсолютная и относительная погрешности
- •Пример 1.4. Примеры записи абсолютной погрешности числа :
- •Пример 1.5. Пример записи относительной погрешности числа :
- •1.5. Погрешность машинных вычислений и представлений чисел в памяти эвм
- •1.6. Графы вычислительных процессов
- •1.7. Вопросы для самопроверки
- •Глава 2. Решение нелинейных уравнений с одной переменной
- •2.1. Локализация корней
- •2.2. Уточнение корней
- •2.2.1. Метод половинного деления (бисекции, дихотомии)
- •2.2.2. Метод хорд
- •2.2.3. Метод Ньютона (касательных)
- •2.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •2.2.5. Метод секущих
- •2.2.6. Метод итераций
- •Б) односторонний расходящийся процесс; в) двухсторонний сходящийся процесс; г) двухсторонний расходящийся процесс.
- •2.2.7. Комбинированный метод хорд и касательных
- •2.3. Вопросы для самопроверки
- •Глава 3. Методы приближения, интерполяции и аппроксимации функций
- •3.1. Методы приближения функций
- •3.1.1. Формула Тейлора, ряд Тейлора
- •3.1.2. Полиномы Чебышева
- •3.1.3. Экономизация степенных рядов
- •3.1.4. Приближения с помощью дробно-рациональных функций
- •3.2. Методы интерполяции функций
- •3.2.1. Прямой метод
- •3.2.2. Полином Лагранжа
- •3.2.3. Полином Ньютона
- •3.3. Методы аппроксимации функций
- •3.3.1. Среднеквадратичная аппроксимация
- •Премиальные фонды и прибыли предприятий
- •Коэффициенты регрессии
- •Расчет суммы квадратов отклонений по линейной модели
- •Сумма квадратов отклонений для рассматриваемых моделей
- •3.3.2. Полиномиальная аппроксимация
- •3.3. Вопросы для самопроверки
- •Глава 4. Численное интегрирование
- •4.1. Понятие определенного интеграла
- •4.2. Классификация методов численного интегрирования
- •4.3. Методы Ньютона-Котеса
- •4.3.1. Методы прямоугольников
- •4.3.2. Метод трапеций
- •4.3.3. Метод Симпсона (метод парабол)
- •4.4. Погрешность методов Ньютона-Котеса
- •4.5. Вычисление интегралов с заданной точностью
- •4.6. Особые случаи численного интегрирования
- •4.7. Вычисление кратных интегралов
- •Результаты вычисления значений функции .
- •4.8. Методы Монте-Карло
- •4.9. Вопросы для самопроверки
2.2. Уточнение корней
На данном этапе
задача состоит в получении приближенного
значения корня, принадлежащего отрезку
его локализации
,
с заданной точностью
.
Это означает, что вычисленное значение
корня
должно отличаться от точного
не более чем на величину
:
.
Рассмотрим основную
идею численных методов определения
прибли-женных значений корней нелинейных
уравнений. Прежде всего, некоторым
образом выберем начальное приближение
к корню
.
На основании значения
по некоторой формуле вычислим следующее
приближение
,
затем на основании
вычислим
и т.д. до
.
При этом основная задача численных
методов заключается в обеспечении
сходимости последовательности
приближенных значений
к корню. Каждый шаг приближения называется
итерацией (от латинского iteratio
– повторение), а сами методы уточнения
значения корня – итерационными методами.
В результате выполнения серии итераций
получается последовательность
приближенных значений корня
,
которая называется итерационной
последовательностью.
В общем случае при
поиске корня
уравнения
строится последовательность приближений
,
такая что
.
Тогда итерационный
процесс сходится
к точному значению корня.
Сходимость
итерационного процесса означает, что
погрешность каждого последующего
приближения должна быть меньше погрешности
предыдущего приближения, то есть
погрешность приближенных значений с
каждым шагом должна уменьшаться
,
и каждое значение
должно быть ближе к корню, чем значение
.
В общем виде данное неравенство можно
представить следующим образом:
, (*)
где
и
– некоторые числа, конкретные значения
которых определяются особенностями
используемого метода уточнения корня.
От значений
и
зависит, на сколько при каждой итерации
уменьшается погрешность приближенных
значений и, соответственно, насколько
быстро можно получить приближенное
значение корня с заданной точностью.
Главным показателем скорости сходимости
метода является значение
.
При
погрешность с каждым шагом убывает
линейно, в этом случае говорят о линейной
сходимости
или о сходимости со скоростью геометрической
прогрессии. Если
,
то говорят, что имеет место квадратичная
сходимость
и т.д. Скорость сходимости является
важнейшей характеристикой итерационного
процесса.
Определение 2.1.
Последовательность
сходится с линейной скоростью или со
скоростью геометрической прогрессии,
если существует число
,
,
такое, что
.
Определение 2.2.
Последовательность
сходится со сверхлинейной скоростью,
если существует последовательность
,
,
такая, что
.
Определение 2.3.
Последовательность
сходится с квадратичной скоростью, если
существует число
,
такое что
.
Определение 2.3
может быть распространено на любые
случаи сходимости, для которых в
неравенстве (*) показатель степени
.
Для некоторых из
рассматриваемых далее методов определения
корней нелинейных уравнений требуется
знакопостоянство не только первой, но
и второй производной соответствующих
функций на отрезках локализации корней.
Методы, в которых используются только
значения функции
,
называются методами нулевого порядка.
Методы, использующие
и
,
называются соответственно методами
первого и второго порядка.