- •Глава 1. Численные методы и особенности использования эвм
- •Глава 2. Решение нелинейных уравнений с одной переменной 23
- •Глава 3. Методы приближения, интерполяции и аппроксимации функций 47
- •Глава 4. Численное интегрирование 75
- •Глава 5. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений 108
- •Глава 6. Численное дифференцирование 139
- •Глава 7. Методы численной оптимизации 150
- •Предисловие
- •Глава 1. Численные методы и особенности использования эвм в решении математических задач
- •1.1. Математическое моделирование и численные методы
- •1.2. Общая постановка и понятие устойчивости задач вычисления
- •1.3. Структура погрешности решения задач вычисления
- •1.4. Абсолютная и относительная погрешности
- •Пример 1.4. Примеры записи абсолютной погрешности числа :
- •Пример 1.5. Пример записи относительной погрешности числа :
- •1.5. Погрешность машинных вычислений и представлений чисел в памяти эвм
- •1.6. Графы вычислительных процессов
- •1.7. Вопросы для самопроверки
- •Глава 2. Решение нелинейных уравнений с одной переменной
- •2.1. Локализация корней
- •2.2. Уточнение корней
- •2.2.1. Метод половинного деления (бисекции, дихотомии)
- •2.2.2. Метод хорд
- •2.2.3. Метод Ньютона (касательных)
- •2.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •2.2.5. Метод секущих
- •2.2.6. Метод итераций
- •Б) односторонний расходящийся процесс; в) двухсторонний сходящийся процесс; г) двухсторонний расходящийся процесс.
- •2.2.7. Комбинированный метод хорд и касательных
- •2.3. Вопросы для самопроверки
- •Глава 3. Методы приближения, интерполяции и аппроксимации функций
- •3.1. Методы приближения функций
- •3.1.1. Формула Тейлора, ряд Тейлора
- •3.1.2. Полиномы Чебышева
- •3.1.3. Экономизация степенных рядов
- •3.1.4. Приближения с помощью дробно-рациональных функций
- •3.2. Методы интерполяции функций
- •3.2.1. Прямой метод
- •3.2.2. Полином Лагранжа
- •3.2.3. Полином Ньютона
- •3.3. Методы аппроксимации функций
- •3.3.1. Среднеквадратичная аппроксимация
- •Премиальные фонды и прибыли предприятий
- •Коэффициенты регрессии
- •Расчет суммы квадратов отклонений по линейной модели
- •Сумма квадратов отклонений для рассматриваемых моделей
- •3.3.2. Полиномиальная аппроксимация
- •3.3. Вопросы для самопроверки
- •Глава 4. Численное интегрирование
- •4.1. Понятие определенного интеграла
- •4.2. Классификация методов численного интегрирования
- •4.3. Методы Ньютона-Котеса
- •4.3.1. Методы прямоугольников
- •4.3.2. Метод трапеций
- •4.3.3. Метод Симпсона (метод парабол)
- •4.4. Погрешность методов Ньютона-Котеса
- •4.5. Вычисление интегралов с заданной точностью
- •4.6. Особые случаи численного интегрирования
- •4.7. Вычисление кратных интегралов
- •Результаты вычисления значений функции .
- •4.8. Методы Монте-Карло
- •4.9. Вопросы для самопроверки
4.7. Вычисление кратных интегралов
Для вычисления кратных интегралов вида также используются численные методы. В рамках данного учебно-методического пособия ограничимся рассмотрением двойных интегралов . Будем рассматривать неотрицательную непрерывную функцию , заданную на квадрируемом (имеющем площадь, ограниченном) множестве (области интегрирования) плоскости . Определим разбиение множества как его представление в виде объединения конечного числа квадрируемых частей, . Можно считать, что разбиение области на части , , определяется выбором геометрических фигур, которыми представлены , .
В случае интегрирования функции рассматривались длины частей разбиения отрезка : , , , . В случае интегрирования функции обобщением понятия длины будет площадь части области .
В каждой части , , произвольным образом выберем точку , имеющую координаты . Обозначим , , через . Составим двумерную интегральную сумму . Очевидно, что каждое слагаемое полученной суммы соответствует объему тела с основаниями и высотой .
В разд. 4.1 было показано, что простая (одномерная) интегральная сумма в случае интегрирования функции на отрезке представляет собой площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников c основаниями, соответствующими длинам частей разбиения отрезка , и с высотами, равными значениям функции в точках , выбранных на основаниях.
Аналогично, двухмерная интегральная сумма численно равна объему ступенчатого тела, составленного из вертикальных столбиков, имеющих части , , области своими основаниями, а значения функции в некоторой принадлежащей им точке равными высотам.
Очевидно, что для заданной области и непрерывной функции можно составить не одну, а бесконечное множество интегральных сумм, потому что область можно разбить на части , , различными способами, а также по-разному выбрать в них точки , . В результате численная величина интегральной суммы зависит от способа разбиения области и от выбора внутренних точек в ее частях , .
Введем понятие диаметра частей – , значение которого определяется как точная верхняя грань расстояния между точками множества . В общем случае диаметром плоской фигуры называется наибольшая из хорд данной фигуры. Будем считать, что область ограничена контуром . Предположим, что части , , изменяются и начинают бесконечно уменьшаться (не только в смысле величины их площади, но и в смысле значений их диаметров), так что даже самый большой из их диаметров бесконечно уменьшается. Это означает, что части , , становятся все более малыми и так как они должны заполнять постоянную площадь внутри контура , то их число должно бесконечно увеличиваться. С дугой стороны, непрерывная функция является ограниченной и для всех точек справедливо неравенство:
,
где – постоянная величина. Отсюда следует, что общий член двухмерной интегральной суммы имеет абсолютную величину, меньшую чем и, значит, бесконечно уменьшается.
Таким образом, когда наибольший из диаметров частей , , бесконечно уменьшается, двухмерная интегральная сумма становится суммой бесконечно увеличивающегося числа слагаемых с бесконечно уменьшающимися значениями. В этих условиях двухмерная интегральная сумма стремится к определенному пределу, всегда одному и тому же, какую бы форму не имели бесконечно уменьшающиеся части , области , и каким бы образом ни выбирались в них точки , .
В рамках настоящего учебно-методического пособия доказательство данного важного предположения не приводится, однако его можно найти в более подробных курсах, посвященных интегральному исчислению.
Предел двухмерной интегральной суммы называется двойным (определенным) интегралом и обозначается следующим образом:
. (*)
Если областью интегрирования является прямоугольник ( , ) со сторонами, параллельными осям координат, то для вычисления двойного интеграла можно использовать любой из рассмотренных в данной главе методов. Например, применение формулы средних прямоугольников при постоянном шаге интегрирования дает следующий результат
,
где и – шаги для отрезков интегрирования на и соответственно по и , а и – средние точки отрезков интегрирования, рис. 4.12.
Рис. 4.12. Вычисление интеграла по прямоугольной области интегрирования.
Заметим, что с повышением кратности интегралов резко возрастает объем вычислений и рассмотренный подход становится неэффективным. Например, если мы разбиваем интервал изменения каждой переменной всего на десять частей, то для вычисления тройного интеграла нам потребуется вычислить сумму тысячи слагаемых, а при вычислении десятикратного интеграла, потребуется сумма, количество слагаемых в которой определяется числом . Вычисление такой суммы затруднительно даже на самых быстродействующих современных компьютерах. В этом случае применяют другие методы численного интегрирования, среди которых особое место занимает метод статистических испытаний (Монте-Карло), разд. 4.8.
Остановимся на общей идее получения формул вычисления двойных интегралов, которая заключается в их приведении к повторным интегралам и последовательном применении формул методов Ньютона-Котеса, например, формулы Симпсона. Пусть требуется вычислить двойной интеграл (*) по прямоугольнику со сторонами, параллельными координатным осям. Разобьем прямоугольник на четыре равных прямоугольника средними линиями и обозначим стороны данных меньших прямоугольников соответственно через и . Значения функции , вычисленные в узловых точках, обозначим соответственно через , , , , и т.д. Результат разбиения прямоугольной области интегрирования представлен на рис. 4.13.
Рис. 4.13. Разбиение прямоугольной области интегрирования.
Тогда двойной интеграл (*) можно представить в виде
или
, где . (4.13)
К каждому из полученных интегралов, в свою очередь, можно применить формулу Симпсона (4.8). Из (4.13) получим
. (4.14)
С другой стороны
(4.15)
Подставив (4.15) в (4.14), получаем, что исходный интеграл (*) может быть вычислен по формуле
. (4.16)
Таким образом, остается вычислить значения функции в узлах, номера которых отмечены в кружках на рис. 4.13.
Рассмотрим пример. Требуется вычислить интеграл
.
Решение. Принимая и , вычислим значения функции . Результаты приведенны в табл. 4.1.
Таблица 4.1.