- •Глава 1. Численные методы и особенности использования эвм
- •Глава 2. Решение нелинейных уравнений с одной переменной 23
- •Глава 3. Методы приближения, интерполяции и аппроксимации функций 47
- •Глава 4. Численное интегрирование 75
- •Глава 5. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений 108
- •Глава 6. Численное дифференцирование 139
- •Глава 7. Методы численной оптимизации 150
- •Предисловие
- •Глава 1. Численные методы и особенности использования эвм в решении математических задач
- •1.1. Математическое моделирование и численные методы
- •1.2. Общая постановка и понятие устойчивости задач вычисления
- •1.3. Структура погрешности решения задач вычисления
- •1.4. Абсолютная и относительная погрешности
- •Пример 1.4. Примеры записи абсолютной погрешности числа :
- •Пример 1.5. Пример записи относительной погрешности числа :
- •1.5. Погрешность машинных вычислений и представлений чисел в памяти эвм
- •1.6. Графы вычислительных процессов
- •1.7. Вопросы для самопроверки
- •Глава 2. Решение нелинейных уравнений с одной переменной
- •2.1. Локализация корней
- •2.2. Уточнение корней
- •2.2.1. Метод половинного деления (бисекции, дихотомии)
- •2.2.2. Метод хорд
- •2.2.3. Метод Ньютона (касательных)
- •2.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •2.2.5. Метод секущих
- •2.2.6. Метод итераций
- •Б) односторонний расходящийся процесс; в) двухсторонний сходящийся процесс; г) двухсторонний расходящийся процесс.
- •2.2.7. Комбинированный метод хорд и касательных
- •2.3. Вопросы для самопроверки
- •Глава 3. Методы приближения, интерполяции и аппроксимации функций
- •3.1. Методы приближения функций
- •3.1.1. Формула Тейлора, ряд Тейлора
- •3.1.2. Полиномы Чебышева
- •3.1.3. Экономизация степенных рядов
- •3.1.4. Приближения с помощью дробно-рациональных функций
- •3.2. Методы интерполяции функций
- •3.2.1. Прямой метод
- •3.2.2. Полином Лагранжа
- •3.2.3. Полином Ньютона
- •3.3. Методы аппроксимации функций
- •3.3.1. Среднеквадратичная аппроксимация
- •Премиальные фонды и прибыли предприятий
- •Коэффициенты регрессии
- •Расчет суммы квадратов отклонений по линейной модели
- •Сумма квадратов отклонений для рассматриваемых моделей
- •3.3.2. Полиномиальная аппроксимация
- •3.3. Вопросы для самопроверки
- •Глава 4. Численное интегрирование
- •4.1. Понятие определенного интеграла
- •4.2. Классификация методов численного интегрирования
- •4.3. Методы Ньютона-Котеса
- •4.3.1. Методы прямоугольников
- •4.3.2. Метод трапеций
- •4.3.3. Метод Симпсона (метод парабол)
- •4.4. Погрешность методов Ньютона-Котеса
- •4.5. Вычисление интегралов с заданной точностью
- •4.6. Особые случаи численного интегрирования
- •4.7. Вычисление кратных интегралов
- •Результаты вычисления значений функции .
- •4.8. Методы Монте-Карло
- •4.9. Вопросы для самопроверки
3.2.1. Прямой метод
Пусть на интерполяционной сетке заданы значения некоторой функции: . Требуется построить полином степени не выше , такой чтобы выполнялись условия, позволяющие однозначно определить значения его коэффициентов:
(3.11)
Геометрически процесс замены таблично заданной функции интерполянтом заключается в проведении графика функции через все узловые точки функции (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Интерполирование функции .
На рис. 3.1 помимо графика интерполянта представлен график функции , также проведенный через все узловые точки , , функции , но, очевидно, являющийся неудачным результатом ее интерполяции.
Если не указан класс функции (не описаны ее свойства), то задача интерполирования не является корректной, так как отсутствие информации о характере поведения функции между узлами может привести к непредсказуемым погрешностям при построении интерполянта . На ЭВМ в качестве интерполянтов обычно используются полиномы степени не выше . В этом случае система уравнений (3.11) превращается в систему уравнений для неизвестных коэффициентов :
(3.12)
Система (3.12) состоит из уравнения и неизвестного и имеет единственное решение, которым являются значения коэффициентов интерполянта .
Единственность решения доказывается тем, что определитель данной системы, так называемый определитель Вандермонда, отличен от нуля
.
Единственность решения означает, что разные способы вычисления коэффициентов интерполянта дают в результате один и тоже полином.
Рассмотрим пример. Пусть рассматриваются три узла интерполяционной сетки, в которых известны значения некоторой функции: , , . Требуется интерполировать функцию полиномом второй степени , определив его коэффициенты .
Решение. На основании исходных данных известно, что , , а , составим систему уравнений (3.12) для определения значений коэффициентов прямым методом:
В результате получаем ответ: .
3.2.2. Полином Лагранжа
Для построения интерполяционного многочлена прямым методом необходимо предварительно решить систему уравнений (3.12). Интерполяционная формула Лагранжа не требует решения системы (3.12) и в общем виде соответствующий полином можно представить следующей формулой:
, (3.13)
где – узлы интерполяционной сетки, а – значения функции в соответствующих узловых точках.
Заметим, что многочлен удовлетворяет следующему требованию:
Многочлен равен нулю в точках , а в точке равен единице. Это обеспечивает требование прохождения интерполяционного многочлена через все узлы интерполяционной сетки.
Каждое из слагаемых формулы (3.13) является полиномом степени не выше , следовательно, также есть полином степени не выше . Формула (3.13) составлена так, чтобы выполнялось условие . Если функция достаточно гладкая, то есть имеет непрерывные производные вплоть до порядка включительно, то погрешность интерполяции, определяемую формулой , можно оценить следующим образом:
,
где , .
Рассмотрим пример. Пусть рассматриваются три узла интерполяционной сетки, в которых известны значения некоторой функции: , , . Требуется интерполировать функцию полиномом Лагранжа второй степени .
Решение. На основании исходных данных известно, что и , определим , и :
;
;
.
В результате
.
Получаем ответ: (полученный в данном примере результат совпадает с результатом, полученным ранее при интерполировании функции прямым методом, однако, в общем случае совпадение результатов может и не наблюдаться).