- •Глава 1. Численные методы и особенности использования эвм
- •Глава 2. Решение нелинейных уравнений с одной переменной 23
- •Глава 3. Методы приближения, интерполяции и аппроксимации функций 47
- •Глава 4. Численное интегрирование 75
- •Глава 5. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений 108
- •Глава 6. Численное дифференцирование 139
- •Глава 7. Методы численной оптимизации 150
- •Предисловие
- •Глава 1. Численные методы и особенности использования эвм в решении математических задач
- •1.1. Математическое моделирование и численные методы
- •1.2. Общая постановка и понятие устойчивости задач вычисления
- •1.3. Структура погрешности решения задач вычисления
- •1.4. Абсолютная и относительная погрешности
- •Пример 1.4. Примеры записи абсолютной погрешности числа :
- •Пример 1.5. Пример записи относительной погрешности числа :
- •1.5. Погрешность машинных вычислений и представлений чисел в памяти эвм
- •1.6. Графы вычислительных процессов
- •1.7. Вопросы для самопроверки
- •Глава 2. Решение нелинейных уравнений с одной переменной
- •2.1. Локализация корней
- •2.2. Уточнение корней
- •2.2.1. Метод половинного деления (бисекции, дихотомии)
- •2.2.2. Метод хорд
- •2.2.3. Метод Ньютона (касательных)
- •2.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •2.2.5. Метод секущих
- •2.2.6. Метод итераций
- •Б) односторонний расходящийся процесс; в) двухсторонний сходящийся процесс; г) двухсторонний расходящийся процесс.
- •2.2.7. Комбинированный метод хорд и касательных
- •2.3. Вопросы для самопроверки
- •Глава 3. Методы приближения, интерполяции и аппроксимации функций
- •3.1. Методы приближения функций
- •3.1.1. Формула Тейлора, ряд Тейлора
- •3.1.2. Полиномы Чебышева
- •3.1.3. Экономизация степенных рядов
- •3.1.4. Приближения с помощью дробно-рациональных функций
- •3.2. Методы интерполяции функций
- •3.2.1. Прямой метод
- •3.2.2. Полином Лагранжа
- •3.2.3. Полином Ньютона
- •3.3. Методы аппроксимации функций
- •3.3.1. Среднеквадратичная аппроксимация
- •Премиальные фонды и прибыли предприятий
- •Коэффициенты регрессии
- •Расчет суммы квадратов отклонений по линейной модели
- •Сумма квадратов отклонений для рассматриваемых моделей
- •3.3.2. Полиномиальная аппроксимация
- •3.3. Вопросы для самопроверки
- •Глава 4. Численное интегрирование
- •4.1. Понятие определенного интеграла
- •4.2. Классификация методов численного интегрирования
- •4.3. Методы Ньютона-Котеса
- •4.3.1. Методы прямоугольников
- •4.3.2. Метод трапеций
- •4.3.3. Метод Симпсона (метод парабол)
- •4.4. Погрешность методов Ньютона-Котеса
- •4.5. Вычисление интегралов с заданной точностью
- •4.6. Особые случаи численного интегрирования
- •4.7. Вычисление кратных интегралов
- •Результаты вычисления значений функции .
- •4.8. Методы Монте-Карло
- •4.9. Вопросы для самопроверки
1.4. Абсолютная и относительная погрешности
Данный раздел посвящен рассмотрению определений и принципов оценки абсолютной и относительной погрешностей значений величин, а также результатов выполнения над ними арифметических операций.
Определение 1.2. Если точное значение некоторой величины и известное приближение к нему, то абсолютной погрешностью приближенного значения называют величину .
Определение 1.3. Если точное значение некоторой величины и известное приближение к нему, то относительной погрешностью приближенного значения называют величину . Относительная погрешность часто выражается в долях или процентах.
Определение 1.4. Значащими цифрами числа называют все цифры в его десятичной записи, начиная с первой ненулевой слева: , . В данном примере значащие цифры выделенны курсивом.
Определение 1.5. Значащую цифру называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего данной цифре, например: ; ; , . В приведенном примере значащие цифры, выделенные курсивом, являются верными. Если все значащие цифры числа верные, то говорят, что число записано со всеми верными цифрами. Иногда употребляется термин число верных цифр после запятой, тогда подсчитывается число верных цифр после запятой от первой до последней верной цифры.
Довольно часто информация о некоторой величине задается пределами возможного изменения ее значения, например: . Пределы и принято записывать с одинаковым числом знаков после запятой, так как обычно достаточно грубого представления о погрешности. В записи чисел и рассматривают столько значащих цифр, сколько нужно для того, чтобы разность содержала одну или две значащие цифры.
Информацию о том, что является приближенным значением числа с абсолютной погрешностью , принято записывать в виде . Числа и записывают с одинаковым количеством знаков после запятой. Информацию о том, что является приближенным значением числа с относительной погрешностью можно записать в виде .
Пример 1.4. Примеры записи абсолютной погрешности числа :
Пример 1.5. Пример записи относительной погрешности числа :
.
Пусть даны два числа и , приближенно представляющие числа и , имеющие соответствующие абсолютные погрешности и (например, машинного представления). Рассмотрим формулы расчета значений абсолютных и относительных погрешностей результатов выполнения математических операций сложения, вычитания, умножения и деления с данными числами.
Абсолютная погрешность суммирования чисел , :
.
Относительная погрешность суммирования чисел , :
.
Абсолютная погрешность вычитания чисел , :
.
Относительная погрешность вычитания чисел , :
.
Абсолютная погрешность умножения чисел , :
.
Здесь и в представленных далее формулах результат произведения абсолютных погрешностей чисел и не принимается во внимание так как его значение очень мало.
Относительная погрешность умножения чисел , :
.
Абсолютная погрешность деления чисел , :
.
Относительная погрешность деления чисел , :
.
Абсолютная погрешность вычисления значения функции, зависящей от одной переменной:
, .
Относительная погрешность вычисления значения функции, зависящей от одной переменной:
.
Аналогично получают формулы для оценки абсолютной и относительной погрешностей вычисления значений функций, зависящих от n переменных.