Глава 3. Методы приближения, интерполяции и аппроксимации функций

Компьютеры выполняют простейшие арифметические операции, однако при программировании решений вычислительных задач требуется рассчитывать значения таких функций как , , и т.д. Усилия многих математиков и программистов были затрачены на разработку методов и программ, позволяющих вычислять значения функций эффективно и точно. Многообразие существующих методов вычисления функций на ЭВМ можно условно разделить на три группы.

Группа методов, для которых доступна полная информация о функции (методы приближения функций). Если известен аналитический вид функции (задано ее математическое выражение), то можно реализовать полное исследование ее математических свойств. Основной задачей данной группы методов является замена (приближение) исходной сложной функции некоторой другой функцией, которую можно вычислить на ЭВМ.

Группа методов, для которых доступна информация о значениях функции на конечном множестве значений ее аргументов (методы интерполяции функций). Предполагается, что значения аргументов и самой функции заданы точно, а задачей данной группы методов является распространение (восстановление) значений функций с дискретного множества точек на непрерывную область (на основании конечного множества значений функции требуется вычислить ее значение для произвольного значения аргумента).

Группа методов, для которых доступна недостоверная информация о значениях функции на конечном множестве ее аргументов (методы аппроксимации функций). Значения функции или ее аргументов могут быть искажены разного рода неточностями (погрешностями измерений, округления и т.д.), а задачей данной группы методов является не только распространение (восстановление) функции с дискретного множества точек на непрерывную область, но и устранение (фильтрация) погрешностей в исходной информации.

3.1. Методы приближения функций

Пусть задана некоторая функция , для которой доступно полное исследование свойств (вычисление любых производных, поиск экстремумов и т.д.). Требуется разработать численный метод вычисления ее значений для произвольных значений аргумента . Как известно, в ЭВМ непосредственно вычисляются функции, использующие элементарные арифметические операции сложения, вычитания, умножения и деления. Среди элементарных функций особенностям организации вычислительного процесса на ЭВМ удовлетворяют степенные и полиномиальные функции (многочлены). Таким образом, функция, с помощью которой целесообразно приближать (заменять) исходную функцию , является полиномом : , где – его коэффициенты, а целое положительное число – степень полинома.

Правомочна ли такая постановка задачи, когда произвольную функцию можно заменить полиномиальной функцией ? Для класса функций, непрерывных на некотором отрезке , ответ на поставленный вопрос положителен. Из курса линейной алгебры известно, что последовательность многочленов образует бесконечномерный базис в пространстве функций, непрерывных на отрезке , и любую функцию данного класса можно представить как линейную комбинацию базисных функций, то есть: .

Ограничивая бесконечный степенной ряд членами, можно приближать функцию полиномом с любой наперед заданной степенью точности.

Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке , то каково бы ни было число , найдется алгебраический многочлен , такой что , .