- •Введение
- •1. Основные понятия и соотношения алгебры логики
- •Отрицание
- •Дизъюнкция
- •Штрих Шеффера
- •Стрелка Пирса
- •2. Представление функций алгебры логики
- •Пример 2.1
- •Получить сднф и скнф этой функции. Решение
- •Пример 2.2
- •Решение Получение таблицы истинности
- •Пример 2.3
- •Решение
- •Пример 2.4
- •Решение
- •Пример 2.5
- •Решение
- •Пример 2.6
- •Решение
- •Пример 2.7
- •Решение
- •Пример 2.8
- •Решение
- •Пример 2.9
- •Решение
- •3. Минимизация функций алгебры логики
- •3.1. Метод Квайна – Мак-Класки
- •Пример 3.1
- •Решение
- •Пример 3.2
- •Решение
- •Пример 3.3
- •Решение
- •3.2. Метод диаграмм Вейча
- •Пример 3.4
- •Решение
- •Пример 3.5
- •Решение
- •Пример 3.6
- •Решение
- •Пример 3.7
- •Решение
- •Пример 3.8
- •Решение
- •Пример 3.9
- •Решение
- •4. Минимизация неполностью определенных функций
- •4.1. Минимизация неполностью определенных функций Методом Квайна – Мак-Класки
- •Пример 4.1
- •Решение
- •Пример 4.2
- •Решение
- •4.2. Минимизация неполностью определенных функций Методом диаграмм Вейча Пример 4.3
- •Решение
- •Пример 4.4
- •Решение
- •Пример 4.5
- •Решение
- •Список литератуРы
- •Содержание
- •115409 Москва, Каширское шоссе, 31 Примечания и дополнения
2. Представление функций алгебры логики
Основная форма представления функций алгебры логики - таблица истинности (ТИ), которая определяет значение функции на всех наборах переменных.
Таблицами истинности для функций одной и двух переменных являются таблицы 1.1 и 1.2 соответственно.
Помимо таблицы истинности, возможны и другие виды представления ФАЛ, наиболее распространенными из которых являются совершенная дизъюнктивная нормальная форма, описывающая все наборы переменных, на которых функция принимает значение, равное 1, и совершенная конъюнктивная нормальная форма, описывающая все наборы переменных, на которых функция принимает значение, равное 0.
Рассмотрим способы перехода от одного вида представления ФАЛ к другому.
Пример 2.1
Пусть ФАЛ задана в виде таблицы истинности (2.1).
Таблица 2.1
Номер набора |
x |
y |
z |
f(x,y,z) |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
3 |
0 |
1 |
1 |
1 |
4 |
1 |
0 |
0 |
1 |
5 |
1 |
0 |
1 |
1 |
6 |
1 |
1 |
0 |
0 |
7 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Получить сднф и скнф этой функции. Решение
Получение СДНФ.
Для представления сокращенной записи СДНФ этой функции необходимо под знаком обобщенной дизъюнкции или V перечислить через запятую номера всех наборов, на которых функция принимает значение, равное 1.:
f(x,y,z)СДНФ = (0,3,4,5,7)
Примечания:
данный вид представления функции является сокращенной записью СДНФ, а не записью сокращенной дизъюнктивной нормальной формы.
Получение развернутой записи СДНФ включает следующие этапы.
Этап 1.
Записать дизъюнкцию k конъюнктивных термов, содержащих все переменные, от которых зависит функция, где k - количество наборов, на которых функция принимает значение, равное 1, то есть количество наборов, перечисленное в сокращенной записи СДНФ:
f(x,y,z) =xyz V xyz V xyz V xyz V xyz
Этап 2.
Записать под каждым термом двоичный эквивалент одного из наборов, на которых функция принимает значение, равное 1:
f(x,y,z) =xyz V xyz V xyz V xyz V xyz
000 011 100 101 111
Этап 3.
Расставить знаки отрицания над теми переменными, которым в двоичном эквиваленте соответствует 0:
f(x,y,z)СДНФ =xyz V x y z V xyz V xy z V x y z
0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1
Полученная запись представляет собой совершенную дизъюнктивную нормальную форму для функции, заданной таблицей истинности 2.1.
Получение СКНФ.
Для представления сокращенной записи СКНФ этой функции необходимо под знаком обобщенной конъюнкции или Λ перечислить через запятую номера всех наборов, на которых функция принимает значение, равное 0:
f(x,y,z)СКНФ= (1,2,6)
Примечания:
данный вид функции представляет собой сокращенную запись СКНФ, а не запись сокращенной конъюнктивной нормальной формы.
Получение развернутой записи СДНФ включает следующие этапы.
Этап 1.
Записать конъюнкцию m дизъюнктивных термов, содержащих все переменные, от которых зависит функция, где m - количество наборов, на которых функция принимает значение, равное 0, то есть количество наборов, перечисленное в сокращенной записи СКНФ:
f(x,y,z) = (xVyVz) & (xVyVz) & (xVyVz)
Этап 2.
Записать под каждым термом двоичный эквивалент одного из наборов, на которых функция принимает значение, равное 0:
f(x,y,z) = (xVyVz) & (xVyVz) & (xVyVz)
0 0 1 0 1 0 1 1 0
Этап 3.
Расставить знаки отрицания над теми переменными, которым в двоичном эквиваленте соответствует 1:
f(x,y,z)СКНФ = (x V y Vz) & (x Vy V z) & (x Vy V z)
0 0 1 0 1 0 1 1 0
Полученная запись представляет собой совершенную конъюнктивную нормальную форму для функции, заданной таблицей истинности 2.1.