§4. Определение расположения параболы.
П. 4.1.
Пусть уравнение (10) есть общее уравнение
параболы
.
Определим ее расположение относительно
системы координат, для чего:
1) Приведем уравнение (10) к виду
2) Найдем уравнение оси параболы
3) Найдем вершину
параболы
как точку пересечения параболы с ее
осью, для чего решим систему уравнений:
4) Построим оси и .
5) Учитывая, что
все точки параболы
расположены по одну сторону от оси
,
найдем какую - либо одну точку параболы,
отличную от вершины, в старой системе
координат
.
Для этого положим в общем уравнении
(10) одно из переменных равным произвольному
значению, например,
,
и найдем
.
Точка
лежит на параболе.
Условимся ось направлять в ту полуплоскость относительно оси , в которой располагается парабола, а ось соответственно выбранному направлению оси . Тогда приведенное уравнение параболы примет вид:
,
а по этому уравнению легко определить расположение параболы относительно системы координат .
Пример 1. Построить параболу
.
Решение. 1) Найдем приведенное уравнение параболы:
Каноническое
уравнение параболы
2) Найдем уравнение оси параболы
коэффициенты в
и
являются элементами 1-й и 2-й строк
определителя
,
то есть
или
- уравнение оси
.
3) Найдем вершину параболы из уравнений
Получаем:
4) Построим ось
по уравнению
,
точку
и ось
(рис. 7).
5) Найдем точку на
параболе. Положив в данном уравнении
получим уравнение:
,
откуда
.
Направим ось
в ту полуплоскость относительно оси
,
где расположена точка
,
а направление на оси
выбираем соответственно выбранному
направлению на оси
.
Построим параболу в системе
по уравнению:
.
Рис. 7