Билет 19. Свойства преобразования Фурье.

f Є LR(R) (иногда обозначают L1(R)), если f интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b] Є R, и, кроме того, $<-inf, inf>|f(x)|dx сходится. Лемма. Пусть f(x) Є LR(R). Тогда для любого x Є R существует f^(x) = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)dt = (*), причем а) f^(x) Є C(R), b) lim<xinf>f^(x) = 0. Док-во: f(t)e^(ixt) – интегрируема по Риману на любом отрезке. |f(t)e^(ixt)| = f(t)  (*) сходится абсолютно и равномерно по x на R. Докажем а). Для любого положительного eps > 0 существует A > 0: $<R\[-A, A]|f(t)|dt < eps/3. Для любого x Є R f^(x + Δx) – f^(x) = $<-inf, inf>f(t)(e^(it(x + Δx) – e^(ixt))dt = $<-inf, inf>f(t)e^(ixt)[1-e^(itΔx]dt = $<-A, A>… + $<R\[-A, A]>… Оценим. |$<R\[-A, A]>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= $<R\[-A, A]>|f(t)e^(ixt)(1 – e^(itΔx))|dt <= 2$<R\[-A, A]>|f(t)|dt <= 2eps/3. 1-e^(iy) непрерывна по y  существует δ > 0: y Є (-δ, δ) |1 – e^(iy)| < eps/[3($<-inf, inf>|f(t)|dt + 1)]  |$<-A, A>f(t)e^(ixt)[1 – e^(itΔx)]dt| <= … <= eps/3. Окончательно |f^(x + Δx) – f^(x)| < eps при любом Δx Є (-δ/A, δ/A), x Є R. Докажем b. Возьмем A > 0: $<R\[-A, A]>|f(t)|dt < eps/3, |f^(x)| <= |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| + eps/3. Строим ступенчатую функцию g(t): f(t) >= g(t) всюду на [-A, A], кроме конечного числа точек с условием: $<-A, A>f(t)dt - $<-A, A>g(t)dt = $<-A, A>(f(t) – g(t))dt < $|…|dt < eps/3. Раз f – интегрируема по Риману, то суещствует разбиение T: -A = t0 < t1<…<tn = A: $<-A, A>f(t)dt – sT(t) < eps/3, где sT(t) = Add<k=1, n>mkΔtk, mk = inf<t Є [t<k-1>, tk] f(t), Δtk = tk – t<k-1>. Пусть g(t) = {mk, t Є (t<k-1>, tk); t Є {t0,…, tn} – произвольные значения} = $<-A, A>g(t)dt = sT(t). Тогда |$<-A, A>f(t)e^(itx)dt| = |$<-A, A>(f(t) – g(t))e^(itx)dt| + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt| < eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Те |f^(t)| < 2eps/3 + |$<-A, A>g(t)e^(itx)dt|. Оценим последний интеграл. Он равен по модулю |Add<k=1, n>$<t<k-1>, tk>mke^(itx)dt| = |Add<k=1, n>mk[e^(it<k>x) - e^(it<k-1>x)]/ix <= 1/|x|Add<k=1, n>2|mk| = c/|x|, те меньше eps/3 при достаточно больших x. ЧТД. Следствие: если f Є LR(R), то lim<xinf>$<-inf, inf>f(t)cos(xt)dt = lim<xinf>$<-inf, inf>f(t)sinxtdt = 0. Док-во: e^(ixt) = cosxt + isinxt. ЧТД. Функция f^(x) называется преобразованием Фурье (Фурье-образом) функции f(t).

Билет 20. Условие разложимости функции в интеграл Фурье.

f(t) Є LR(R) разложима в точке t0 в интеграл Фурье, если существует v.p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x)e^(-it0x)dx = lim<Rinf>$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx. Т18 Если f Є LR(R) и в точке t0 f удовлетворяет условию Гельдера порядка a слева и справа, тогда v.p. 1/(2п)$<-inf, inf>f^(x0)e^(-it0x)dx = [f(t0 + 0) – f(t0 – 0)]/2 (***). Вспомогательное утверждение: f Є LR(R), для любого t0 Є R 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u. Док-во: $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(itx)e^(-it0x)dt = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(t)e^(ix(t-t0))dt = {u = t-t0} = $<-R, R>dx$<-inf, inf>f(u + t0)e^(ixu)du = (мы не можем просто поменять порядок интегрирования в виду отсутствия непрерывности) = {для любого eps > 0 существует A(eps) > 0: для любых A1, A2 > A $<R\[-A1, A2]>|f(u + t0)|du < eps/2R} = $<-R, R>dx$<-A1, A2>f(u + t0)>e^(ixu)du + остаток. Остаток легко оцениваем, а в оставшемся интеграле можно менять порядок интегрирования. $<-A1, A2>f(u + t0)du$<-R, R>e^(ixu)dx = $<-A1, A2>f(u + t0)du[e^(iuR) – e^(-iuR)]/(iu) = 2$<-A1, A2>f(u + t0)sin(uR)du/u. ТЕ |$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – 2$<-A1, A2>f(u + t0)sinuRdu/u| < eps, для любых A1, A2 >= A(eps). Устремляем к бесконечности и получаем $<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx = 2$<-inf, inf>f(u + t0)sinuRdu/u. Доказали. Док-во теоремы: 1/п$<0, inf>sinRudu/u = 1/п$<-inf, 0>sinRudu/u = {интеграл Дирихле, R > 0} = 1/п п/2 = ½. f(t0 + 0)/2 = 1/п$<0, inf>sinRuf(t0 + 0)/udu, f(t0-0) =1/п$<-inf, 0>sinRu/uf(t0 – 0)du. Условия Гельдера порядка a слева и справа в t0  существует c > 0, δ0 > 0: {|f(t0 + u) – f(t0+0)| < Cu^a, u Є (0, δ0); |f(t0 + u) – f(t0 – 0)| < C|u|^a, u Є (-δ0, 0)}. Для любого eps > 0 существует δ > 0: 0 < δ < δ0  cδ^a/(пa) < eps/5. В следующей выкладке используем это δ: 1/(2п)$<-R, R>f^(x)e^(-it0x)dx – ½[f(t0 + 0) + f(t0 – 0)] = {по утверждению} = 1/п$<-inf, inf>f(u + t0)sinRudu/u – 1/п$<0, inf>f(t0 + 0)sinRudu/u – 1/п$<-inf, 0>f(t0-0)sinRudu/u = 1/п$<0, δ>[f(u + t0) – f(t0 + 0)]sinRudu/u + 1/п$<-δ, 0>[f(u + t0) – f(t0 – 0)]sinRudu/u + $<R\[-δ, δ]f(u + t0)sinRu/udu – 1/пf(t0 + 0)$<δ, inf>sinRu/udu – 1/пf(t0 - 0)$<-inf, -δ>sinRudu/u = I1 + I2 + I3 – I4 – I5. |I1| < eps/5 из выбора δ. |I2| тоже для любого R. I3: h(u) = {f(u+t0)/u, |u| >= δ; 0, |u| < δ}. h(u) Є LR(R)  по следствию основной леммы (Б19 следствие) lim<Rinf>h(u)sin(Ru)du = 0  I3 достаточно мал при больших R. $<-inf, -δ>sinRu/udu = $<δ, inf>sinRu/udu = {Ru = y} = $<δR, inf>siny/ydy<Rinf>0. Те ЧТД.

Доп – случайно набрал, вроде не нужно.

Интегральный модуль непрерывности f на [a, b]: w^[a, b](f, δ) = sup<|h|<=δ>$<a,b>|f(t+h) – f(t)|dt, δ > 0, f должна быть интегрируема по Риману на [a, b] и её период равен b – a. Обозначим w^(f, δ) = w^[-п, п](f, δ). Т11 lim<δ0+0>w^(f, δ) = 0. Док-во: f Є L2R[-п, п]. Существует T(x) тригонометрический многочлен: ||f – T|| <= eps/(3sqrt<2>(2п)). $<-п, п>|f(t) – T(t)|dt = (|f(t) – T(t)|, 1) <= {неравенство Коши-Буняковского} <= |||f-T|||||1|| = ||f-T||||1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)|  $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ  0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R  существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ))  0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = -e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt|  sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)(равномерно)0, bn… при ninf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) 0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt <xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].