Билет 14. Локальная теорема Фейера.

Пусть f интегрируема на [-п, п], период f = 2п, в точке x0 существует f(x0 + 0), f(x0 – 0). Тогда σn(f, x0) <ninf>1/2[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: σn(f, x0) = 1/(пn)$<-п, п>f(x0 + t)Hn(t)dt. В силу четности ядра Фейера и условия на интеграл от него получаем 1/(пn)$<0, п>Hn(t)dt = 1/(пn)$<-п, 0>Hn(t)dt = ½. Те σn(f, x) – 1/2[f(x0 + 0) +f(x0 – 0] = 1/(пn)$<0, п>[f(x0+t) – f(x0 – t)]Hn(t)dt + 1/(пn)$<-п, 0>[f(x0 + t) – f(x0 -0)]Hn(t)dt = I1n +I2n. Покажем, что In  <ninf>0. В силу сущ пределов |f(x0 + t) – f(x0 + 0)| < eps для любого t Є [0, δ). f ограничена на R (интегрируема и периодична). Разбить на два интеграла от 0 до δ и от δ до п. Первый оценить через eps, второй через 1/sin^(δ/2) и ограниченность (получим оценку C/n меньше eps/2). ЧТД. Следствие: пусть fЄL2R[-п, п], и периодична с периодом 2п. Пусть существует f(x0 +- 0), ТРФ функции f(x) сходится в x0: существует предел lim<ninf>Sn(f, x0), тогда этот предел равен полусумме предельных значений. Док-во: предел сумм чезаро равен пределу частичных сумм.

Билет 15. Простейшие условия равномерной сходимости и почленной дифференцируемости ряда Фурье.

f(x) имеет на [a, b] кусочно-непрерывную производную, если существует a = x0 <….< xl = b, f диф-ма на [a, b]\U<j=0, l>{xj}, существует f’(x<j-1> + 0), f’(xj – 0), f’Є C(xj-1, xj) при j=1,…,l. Т9 Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п), f(x) имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке [-п, п], a0 + Add<k=1, inf>(akcos(kx) + bksin(kx)) ~ f(x) – ТРФ функции f(x), g0/2 + Add<k=1, inf>(gkcoskx + wksin(kx)) ~ f'(x) ТРФ функции f’(x), произвольно доопределенной в точках разрыва. Тогда 1) ТРФ f’(x) получен почленным дифференцированием ТРФ f(x), те g0 = 0, gk = -kbk, wk = kak, k Є N. 2 ТРФ функции f(x) сходится на [-п, п] абсолютно и равномерно к f(x). Док-во: 1) gk = (1/п)$<-п, п>f’(x)coskxdx = (1/п)Add<j=1, j>$<x<j-1>, xj>f’(x)coskxdx = {интегрируем по частям} = 1/пAdd<j=1, l>[f(x)coskx|<x<j-1>, xj + $<x<j-1>, xj>f(x)ksinkxd] = ЧТД. 2) Достаточно доказать сходимость ряда Add<k=1, inf>|ak| + |bk| (тогда по признаку Вейерштрасса) (ряд сходится к функции по следствию из Т Фейера). |ak| + |bk| = |gk|/k + |wk|/k <= ½(wk^2 + 1/k^2) + ½(gk^2 + 1/k^2) = [gk^2 +wk^2]/2 + 1/k^2. Add<k=1, inf>(gk^2 + wk^2) сходится в силу неравенства Парсеваля. ЧТД. Т10 Пусть f(x), f’(x),…,f(m)(x) Є C[-п, п]. f(m)(x) имеет кусочно-непрерывную производную на [–п, п], f(-п) = f(п), f’(-п) = f’(п),…, f(m)(-п) = f(m)(п)… (полная аналогия с предыдущей (gk(j)coskx + wk(j)sinkx = ak(coskx)(j) + bk(sinkx)(j)) теоремой и док-во в том, чтобы её m раз применить).

Билет 16. Уточненные условия равномерной сходимости ряда Фурье.

f принадлежит на [a, b] классу Гельдера порядка a (a Є (0, 1]), (обозначается f Є Ca[a, b]), если w[a, b](f, δ) = O(δ^a). При a = 1 означает липшевость функции на [a, b]. Замечание: f Є Ca[a, b]  f Є C[a, b]. Замечание: если f диф-ма на [a, b] и f’(x) ограчина на [a, b], то a = 1. Док-во: M = sup <x Є [a, b]>|f’(x)|  |f(x1) – f(x2)| = |f’(ξ)(x1 – x2)| <= M(x1-x2) <= Mδ, если |x1 – x2| <= δ. ЧТД. Т15 Пусть f Є Ca[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда ТРФ f(x) равномерно сходится к f(x) на [-п, п]. Док-во: периодически продолжаем f(x) на R: f(x + 2п) = f(x). По условию: существует c1: w[-п, п](f, δ) <= 2c1δ^a, x1, x2 Є [-2п, 2п]; |x1 –x2| < δ. Если x1, x2 Є [-п, п]  |f(x1) – f(x2)| < c1δ^a. Если x1, x2 Є [п, 2п] … Если x1, x2 Є [-2п, п] … Точка п Є [x1, x2]: |f(x1) – f(x2)| <= |f(x1) – f(п)| + |f(п) – f(x2)| < = c1|x1- п|^a + c1|п – x2|^a <= 2c1δ^a. Аналогично для последнего случая. Sn(f, x) – f(x) = 1/п$<-п, п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/п$<-п, п>f(x)Dn(t)dt = 1/п$<-δ, δ>[f(x + t) – f(x)]Dn(t)dt + 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt – 1/пf(x)$<δ<=|t|<=п>Dn(t)dt = In1(x) + In2(x) + In3(x), x Є [-п, п]. 1) |In1(x)| <= 1/п$<-δ, δ>2c1|t|^aп/(2|t|)dt = 2c1|δ|^a/a < eps/3 при δ(eps) Є (0, п): 2c1δ^a/a < eps/3. 2) По первой Л Б18 I2n<x Є R>0. 3) По ней же $<δ<|t|<п>Dn(t)dt  0, |f(x)| <= M, тк f периодическая и интегрируемая  |In3| <= M|$<δ < |t| < п>Dn(t)dt|  0, In3xЄ R 0  существует N(eps, δ(eps)): |In2(x) – In3(x)| < 2eps/3, для любого x Є R, n >= N(eps), x Є [-п, п] |f(x) – Sn(f, x)| < eps. ЧТД.