Билет № 18 Призма

Объем призмы

Объем призмы ранен V = S_основ • H. где S_основ — площадь основания призмы. H — ее высота.

Исходим из известного факта: объем параллелепипеда, равен

V_пар = S_основ • H

(S_основ - площадь основания, H — высота).

Начнем с частного случая. Пусть нам дана треугольная призма.

Достроим ее до параллелепипеда. Следовательно, параллелепипед состоит из двух равных призм, поэтому

С другой стороны,

а высота призмы и параллелепипеда общая. Из равенства

следует, что

Переходим теперь к общему случаю. Дана произвольная призма. В ее основании лежит многоугольник. Проведя в нем диагонали, исходящие, из одной вершины, разбиваем многоугольник на треугольники (рис. 39). Сечения, проведенные через эти диагонали и соответствующие боковые ребра призмы делят ее на определенное число n треугольных призм. Для призмы с номером k объем равен

V_k = S_k • H

где S_k — площадь ее основания, H — высота первоначальной призмы. Складывая объем треугольных призм, получаем объем первоначальной призмы:

Формула установлена.

Свойства призмы

• Основания призмы являются равными многоугольниками.

• Боковые грани призмы являются параллелограммами.

• Боковые ребра призмы параллельны и равны.

• Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания:

• Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания.

• Площадь боковой поверхности произвольной призмы , где  — периметр перпендикулярного сечения,  — длина бокового ребра.

• Площадь боковой поверхности правильной призмы , где  — периметр основания призмы, ,  — высота призмы.

• Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы.

• Углы перпендикулярного сечения — это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах.

• Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым граням.

Виды призм

Боковые грани правильной призмы являются равными прямоугольниками.

Боковые ребра правильной призмы равны.

Правильная призма является прямой.

Правильная призма, боковые грани которой являются квадратами (высота которой равна стороне основания), является полуправильным многогранником.

Билет № 19 Параллелепипед

Параллелепипед (от греч. παράλλος — параллельный и греч. επιπεδον — плоскость) — призма, основанием которой служит параллелограмм, или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них параллелограмм.

ипы параллелепипеда

Различается несколько типов параллелепипедов:

• Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани прямоугольники;

• Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого 4 боковые грани прямоугольники;

• Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям;

• Куб — это прямоугольный параллелепипед с равными измерениями. Все шесть граней куба — равные квадраты.

Основные элементы

Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро — смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями.

Свойства

• Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.

• Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

• Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

• Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Основные формулы

Прямой параллелепипед

Площадь боковой поверхности S_б=Р_о*h, где Р_о — периметр основания, h — высота

Площадь полной поверхности S_п=S_б+2S_о, где S_о — площадь основания

Прямоугольный параллелепипед

Объём V=S_о*h Прямоугольный параллелепипед - это объёмная фигура, у которой шесть граней, и каждая из них является прямоугольником.

Прямоугольный параллелепипед — параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками.

Площадь боковой поверхности S_б=2c(a+b), где a, b — стороны основания, c — боковое ребро прямоугольного параллелепипеда

Площадь полной поверхности S_п=2(ab+bc+ac)

Объём V=abc, где a, b, c — измерения прямоугольного параллелепипеда.

Билет № 20 Шар

 Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой.

Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами. Площадь этих сечений вычисляется по формуле πR².

Основные геометрические формулы

Площадь поверхности и объём шара радиуса определяются формулами:

Доказательство  [скрыть]

Возьмём четверть круга радиуса R с центром в точке . Уравнение окружности этого круга : , откуда .

Функция непрерывная, возрастающая, неотрицательная. При вращении четверти круга вокруг оси Ox образуется полушар, следовательно:

Откуда Ч. т. д.

Доказательство  [скрыть]

Ч. т. д.

Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.

Определения

Пусть дано метрическое пространство . Тогда

• Шаром (или открытым шаром) с центром в точке и радиусом называется множество

• Замкнутым шаром с центром в и радиусом называется множество

Замечания

Шар радиуса с центром также называют -окрестностью точки .

Свойства

• Шар является открытым множеством в топологии, порождённой метрикой .

• Замкнутый шар — замкнутым множеством в топологии, порождённой метрикой .

• По определению такой топологии открытые шары с центрами в любой точке являют собой её базу.

• Очевидно, . Однако, вообще говоря, замыкание открытого шара может не совпадать с замкнутым шаром:

  • Например: пусть — дискретное метрическое пространство, и состоит из более, чем двух точек. Тогда для любого имеем:

Примеры

• Пусть — евклидово пространство с обычным Евклидовым расстоянием. Тогда

• если (пространство — прямая), то

— открытый и замкнутый отрезок соответственно.

• если (пространство — плоскость), то

— открытый и замкнутый диск соответственно.

• если , то

— открытый и замкнутый стереометрический шар соответственно.

• В иных метриках шар может иметь иную геометрическую форму. Например, определим в евклидовом пространстве метрику следующим образом:

Тогда

• если , то — это открытый квадрат с центром в точке и сторонами длины , расположенными по диагонали к координатным осям.

• если , то — это открытый трёхмерный октаэдр.

Вариации и обобщения

Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.

Определения

Пусть дано метрическое пространство . Тогда

• Шаром (или открытым шаром) с центром в точке и радиусом называется множество

• Замкнутым шаром с центром в и радиусом называется множество

Замечания

Шар радиуса с центром также называют -окрестностью точки .

Свойства

• Шар является открытым множеством в топологии, порождённой метрикой .

• Замкнутый шар — замкнутым множеством в топологии, порождённой метрикой .

• По определению такой топологии открытые шары с центрами в любой точке являют собой её базу.

• Очевидно, . Однако, вообще говоря, замыкание открытого шара может не совпадать с замкнутым шаром:

  • Например: пусть — дискретное метрическое пространство, и состоит из более, чем двух точек. Тогда для любого имеем: