- •5, Сочетания.
- •Тут билет № 14 №15"Основные понятия и аксиомы стереометрии. Параллельность прямых и плоскостей"
- •Аксиомы стереометрии и их следствия
- •Некоторые следствия из аксиом
- •Параллельные прямые в пространстве
- •Взаимное расположение прямых в пространстве
- •Билет № 16Перпендикулярность прямой и плоскости
- •Билет № 18 Призма
- •Билет № 21 Цилиндр
- •Билет № 22 Конус
- •Билет№ 23 Пирамида
- •Билет № 24 Сложение векторов. Умножение вектора на число. Скалярное произведение векторов.
Взаимное расположение прямых в пространстве
|
|
|
Пересекающиеся прямые: лежат в одной плоскости, имеют одну общую точку. |
Параллельные прямые: лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются) |
Скрещивающиеся прямые: не лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются) |
Параллельность плоскостей Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, т.е. не имеют ни одной общей точки. α∥β. |
|
Признак параллельности двух плоскостей Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости , то эти плоскости параллельны. Если а∥а1 и b∥b1, то α∥β. |
|
Свойства параллельных плоскостей
Вели α∥β и они пересекаются с γ, то а∥b. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. |
Если α∥β и AB∥CD, то АВ = CD. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны . |
Билет № 16Перпендикулярность прямой и плоскости
Определение Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения. Смотри также опорную задачу №1.
Теорема 1 ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости. Доказательство.
Теорема 2 1-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. Доказательство.
Теорема 3 2-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.
Теорема 2 1-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Доказательство: Пусть а1 и а2 - 2 параллельные прямые и плоскость, перпендикулярная прямой а1. Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой а2. Проведем через точку А2 пересечения прямой а2 с плоскостью произвольную прямую х2 в плоскости . Проведем в плоскости через точку А1 пересечения прямой а1 с прямую х1, параллельную прямой х2. Так как прямая а1 перпендикулярна плоскости , то прямые а1 и x1перпендикулярны. А по теореме 1 параллельные им пересекающиеся прямые а2 и х2 тоже перпендикулярны. Таким образом, прямая а2 перпендикулярна любой прямой х2 в плоскости . А это ( по определению )значит, что прямая а2 перпендикулярна плоскости . Теорема доказана.
Теорема 3 2-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.
Доказательство: Пусть а и b - 2 прямые, перпендикулярные плоскости . Допутим, что прямые а и b не параллельны. Выберем на прямой b точку С, не лежащую в плоскости . Проведем через точку С прямую b1, параллельную прямой а. Прямая b1 перпендикулярна плоскости по теореме 2. Пусть В и В1 - точки пересечения прямых b и b1 с плоскостью . Тогда прямая ВВ1 перпендикулярна пересекающимся прямым b и b1. А это невозможно. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
Билет № 17
Определение Две пересекающиеся плоскости, называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.
Теорема 5 ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ. Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Доказательство.
Теорема 5 ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ. Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Доказательство: Пусть - плоскость , b - перпендикулярная ей прямая, - плоскость проходящая через прямую b, и с - прямая по которой пересекаются плоскости и . Докажем, что плоскости и перпендикулярны. Проведем в плоскости через точку пересечения прямой b с плоскостью прямую а, перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и b плоскость . Она перпендикулярна прямой с, так как прямые а и b перпендикулярны, то плоскости и перпендикулярны. Теорема доказана.