2. Сложение однонаправленных колебаний. Векторные диаграммы. Биения.

В дальнейших расчётах результатов сложений колебаний нам помогут векторные диаграммы.

Векторная диаграмма — графическое изображение меняющихся по закону синуса (косинуса) величин и соотношений между ними при помощи направленных отрезков - векторов. Гармоническое колебание может быть представлено графически в виде проекции на некоторую ось (обычно берут ось координат Оx) вектора, вращающегося с постоянной угловой скоростью ω. Длина вектора соответствует амплитуде, угол поворота относительно оси (Ox) - фазе.

Сумма (или разность) двух и более колебаний на векторной диаграмме представлена при этом геометрической суммой (или разностью) векторов этих колебаний. Мгновенное значение искомой величины определяется при этом проекцией вектора суммы на ось Оx, амплитуда - длиной этого вектора, а фаза - углом его поворота относительно Ox.

1. Сложение однонаправленных колебаний с одинаковыми частотами:

П усть система принимает участие в двух однонаправленных колебаниях с одной .

Сколько бы гармонических колебаний ни складывалось, получаем гармоническое колебание с такой же частотой, но у него своя амплитуда, которая зависит от амплитуды складываемых колебаний и от начальных фаз.

Важные частные случаи:

1. - колебания происходят в одной фазе

2. - колебания называются противофазными

2. Сложение однонаправленных колебаний с разными частотами. Биения.

Для практики особый интерес представляет случай, когда два складываемых гар­монических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В ре­зультате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющей­ся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.

Результирующее колебание можно интерпретировать как быстрое колебание с медленно изменяющейся амплитудой.

8. Затухающие колебания колебательного контура. Дифференциальное уравнение и его решение. Характеристики колебаний. Энергия колебаний. Добротность.

В реальных осцилляторах есть трение, трение трансформирует энергию колебаний во внутреннюю энергию. При достаточно большом трении колебаний может и не быть.

Дифференциальное уравнение осциллятора с трением

1. Колебательный контур

; ;

В общем случае дифференциальное уравнение осциллятора с трением:

(1) , где - квадрат собственной частоты, - коэффициент затухания.

дифференциальное уравнение осциллятора с трением описывает собственную динамику осциллятора, у которого трение линейно зависит от скорости.

Режимы осциллятора с трением

Характер движения осциллятора с трением. Если трение очень маленькое, то колебания должны быть, но их амплитуда должна падать. Если трение велико, то колебаний может не быть.

Решение (1) будем искать в виде x=Ae^t.

Ae^t (²+2+ )=0

²+2+ =0

Возможны три ситуации, связанные с коэффициентами и , и они соответствуют трем возможным режимам осциллятора с трением:

1. Апериодический режим >

₁<0, ₂<0

x(t)= A₁e^g1t+ A₂e^g2t= A₁e^{( )t}+ A₂e^{( )t}

Апериодический режим возникает при большом трении в системе.

α и β определяются самой системой, а A₁ и A₂ – начальными условиями – смещением и его первой производной по времени.

2. Режим критического затухания.

_b=

₁=₂=-b

x(t)=(A+Bt)e^-bt

Вид картины такой же.

В режиме критического затухания система наиболее быстро возвращается в положение равновесия среди апериодических режимов.

Коэффициент сопротивления r называется критическим коэффициентом затухания, b – коэффициент критического затухания, R- критическое сопротивление контура.

Найдем выражение для критического сопротивления:

b_кр= ; ;

3. Режим затухающих колебаний.

b< ; _1,2= , где

x(t)=Re( (t))= A₁e^-btcos(wt+₀₁)+ A₂e^-btcos(wt+₀₂)= A₀e^-btcos(wt+₀)

A₀ – зависит от энергии.

₀ – зависит от начального состояния системы.