Билет №7
Гармонические колебания. Амплитуда. Частота. Пружинный маятник, математический маятник, физический маятник.
Гармонические колебания.
Гармоническое колебание — явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:
или
где
х — значение изменяющейся величины, t
— время, остальные параметры — постоянные:
А — амплитуда колебаний, ω — циклическая
частота колебаний,
— полная фаза колебаний,
—
начальная фаза колебаний.
Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде
Любое
нетривиальное решение этого
дифференциального уравнения — есть
гармоническое колебание с циклической
частотой
Виды колебаний
Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия. Чтобы свободные колебания были гармоническими, необходимо, чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), и в ней отсутствовала диссипация энергии (последняя вызвала бы затухание).
Вынужденные колебания совершаются под воздействием внешней периодической силы. Чтобы они были гармоническими, достаточно чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), а внешняя сила сама менялась со временем как гармоническое колебание (то есть чтобы зависимость от времени этой силы была синусоидальной).
Амплитуда
Амплиту́да — максимальное значение смещения или изменения переменной величины от среднего значения при колебательном или волновом движении. Неотрицательная скалярная величина, размерность которой совпадает с размерностью определяемой физической величины.
Синусоидальное колебание. y — амплитуда волны, λ — длина волны.
Частота
Частота
колебаний — величина, обратная периоду
колебаний, т. е. равная числу периодов
колебаний (числу колебаний), совершаемых
в единицу времени.
Разновидность частот колебаний :
Циклическая
частота-
Частота
колебаний физического маятника-
Частота
пружинного маятника-
Частота
математического маятника-
Частота
электромагнитных колебаний-
Частота
колебаний крутильного маятника-
Пружинный маятник
Пружинный маятник — механическая система, состоящая из пружины с коэффициентом упругости (жёсткостью) k (закон Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на втором находится груз массы m.
Когда на массивное тело действует упругая сила, возвращающая его в положение равновесия, оно совершает колебания около этого положения.Такое тело называют пружинным маятником. Колебания возникают под действием внешней силы. Колебания, которые продолжаются после того, как внешняя сила перестала действовать, называют свободными. Колебания, обусловленные действием внешней силы, называют вынужденными. При этом сама сила называется вынуждающей.
В простейшем случае пружинный маятник представляет собой движущееся по горизонтальной плоскости твердое тело, прикрепленное пружиной к стене.
Второй
закон Ньютона для такой системы при
условии отсутствия внешних сил и сил
трения имеет вид:
Если
на систему оказывают влияние внешние
силы, то уравнение колебаний перепишется
так:
— это
равнодействующая внешних сил соотнесённая
к единице массы груза. В
случае наличия затухания, пропорционального
скорости колебаний с коэффициентом c:
Математический маятник
Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения. Период малых собственных колебаний математического маятника длины L неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен
и
не зависит[1] от амплитуды и массы
маятника.
Уравнение колебаний маятника
Колебания
математического маятника описываются
обыкновенным дифференциальным уравнением
вида
где
―
положительная константа, определяемая
исключительно из параметров маятника.
Неизвестная функция
―
это угол отклонения маятника в момент
от нижнего положения равновесия,
выраженный в радианах;
где
―
длина подвеса
―
ускорение свободного падения. Уравнение
малых колебаний маятника около нижнего
положения равновесия (т. н. гармоническое
уравнение) имеет вид:
Решения уравнения движения
Физический маятник
Физическим маятником называется твердое тело, колеблющееся относительно неподвижной горизонтальной оси (оси подвеса), не проходящей через центр тяжести. При небольших углах отклонения (α-мал) физический маятник совершает гармонические колебания. Сила, возвращающая маятник в положение равновесия, представляет собой составляющую силы тяжести, приложенную в точке С: F=mg·sinα. Момент этой силы относительно оси O равен: M=-Fl=-mgd·sinα, где l=d·sinα - плечо силы F относительно оси O, знак минус соответствует тому, что момент M стремится вернуть маятник в положение равновесия, аналогично квазиупругой силе.
Циклическая частота ω0=√(mgd/I)
Периода колебаний физического маятника T0=2π/ω0=2π√(I/mgd) где d - расстояние от центра тяжести до оси вращения
Если период колебаний не зависит от амплитуды, то такие колебания называются изохронными. Мы видим, что малые колебания физического маятника изохронны. Колебания приближенно изохронны, когда угловая амплитуда колебаний не превышает нескольких градусов. При больших амплитудах изохронность нарушается. На свойстве изохронности колебаний маятника основано его применение в часах.