Билет №4
Вращательное движение. Момент импульса. Тензор инерции. Кинетическая энергия и
момент импульса твердого тела. Теоремы Кёнига и Штейнера-Гюйгенса.
Вращательное движение.
Враща́тельное движе́ние — вид механического движения. При вращательном движении абсолютно твёрдого тела его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения. Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами. Ось вращения в данной системе отсчёта может быть как подвижной, так и неподвижной. Например, в системе отсчёта, связанной с Землёй, ось вращения ротора генератора на электростанции неподвижна.
Частота
вращения
— число оборотов тела в единицу времени.
Период
вращения
— время одного полного оборота. Период
вращения T и его частота
связаны
соотношением
Линейная
скорость точки, находящейся на расстоянии
R от оси вращения
Угловая
скорость вращения тела
Момент
инерции
механической системы относительно
неподвижной оси a («осевой момент
инерции») — физическая величина Ja,
равная сумме произведений масс всех n
материальных точек системы на квадраты
их расстояний до оси:
где:
mi — масса i-й точки, ri — расстояние от
i-й точки до оси.
Кинетическая
энергия вращательного движения
где
Iz — момент инерции тела относительно
оси вращения.
—
угловая скорость
Момент импульса
Момент импульса L частицы относительно некоторого начала отсчёта определяется векторным произведением её радиус-вектора и импульса: где r — радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного в данной системе отсчёта начала отсчёта, P — импульс частицы.
Для нескольких частиц момент импульса определяется как (векторная) сумма таких членов: где — радиус-вектор и импульс каждой частицы, входящей в систему, момент импульса которой определяется.
Тензор инерции
Тензор инерции — в механике абсолютно твёрдого тела — тензорная величина, связывающая момент импульса тела и кинетическую энергию его вращения с его угловой скоростью:
где
— тензор инерции,
— угловая скорость,
— момент импульса
Тензор инерции любого тела зависит от точки, относительно которой он рассчитан. Обычно выделенную роль играет тензор инерции относительно центра масс тела (тогда p в третьей формуле — это просто импульс тела). Также может быть удобно пользоваться моментом инерции, рассчитанным относительно закрепленной (неподвижной) точки тела или точки, находящейся на закреплённой оси вращения. Пересчёт тензора инерции для нового центра, зная его относительно старого, позволяет легко осуществить теорема Штейнера (она же позволяет сделать это и в виде пересчёта, например, формулы кинетической энергии, позволяя, таким образом, оперировать только тензором инерции относительно центра масс).
Как и любой симметричный тензор, тензор инерции может быть диагонализован, то есть можно найти три ортогональные оси координат (собственные оси, орты которых являются собственными векторами и образуют собственный базис тензора инерции) — жестко связанные, конечно, с твёрдым телом, — в которых матрица тензора инерции диагональна, и её собственные числа (собственные числа тензора инерции) определяют главные моменты инерции тела.
Нетрудно видеть, что главные моменты инерции совпадают с осевыми моментами инерции относительно главных осей:
Кинетическая энергия и момент импульса твердого тела
Кинетической
энергией называется энергия, связанная
с движением точки и зависящая от ее
скорости. Скорость тела изменяется под
действием результирующей силы F.
,
где m - масса тела, V - скорость тела.
Кинетическая энергия системы точек определяется как сумма кинетических энергий всех точек системы. Изменение кинетической энергии системы равно работе всех сил, действующих на ее точки.
Момент
импульса твердого тела относительно
оси есть сумма моментов импульса
отдельных частиц, из которых состоит
тело относительно оси. Учитывая, что
получим
Если
сумма моментов сил, действующих на тело,
вращающееся вокруг неподвижной оси,
равна нулю, то момент импульса сохраняется
(закон сохранения момента импульса):
Производная
момента импульса твердого тела по
времени равна сумме моментов всех сил,
действующих на тело:
Теоремы Кёнига
Теорема Кёнига позволяет выразить полную кинетическую энергию системы через энергию движения центра масс и энергию движения относительно центра масс.
Формулировка
Кинетическая
энергия системы есть энергия движения
центра масс плюс энергия движения
относительно центра масс:
где
— полная кинетическая энергия,
— энергия движения центра масс,
— относительная кинетическая энергия.
Вывод
Выразим
относительную кинетическую энергию Tr
системы S как энергию, вычисленной
относительно подвижной системы координат.
Пусть
—
радиус-вектор рассматриваемой точки в
подвижной системе координат. Тогда:
Если
—
радиус-вектор начала координат подвижной
системы, а
—
радиус-вектор рассматриваемой точки в
исходной системе координат, то верно
соотношение:
Вычислим
полную кинетическую энергию системы в
случае, если начало координат подвижной
системы помещено в её центр масс. С
учетом предыдущего соотношения:
Раскрывая скобки и вынося из-под знака интеграла, получаем:
Первое
слагаемое представляет собой кинетическую
энергию материальной точки, помещённой
в начало координат подвижной системы
и имеющей массу, равную массе этой
системы. Второй член равен нулю, так как
по предположению начало координат
подвижной системы помещено в её центр
масс, следовательно,
Третий
член равен
введённой ранее относительной энергии
системы.
Теоремы Штейнера-Гюйгенса.
Теоре́ма
Гю́йгенса — Ште́йнера, или просто
теорема Штейнера (названа по имени
швейцарского математика Якоба Штейнера
и голландского математика, физика и
астронома Христиана Гюйгенса): момент
инерции тела
относительно произвольной оси равен
сумме момента инерции этого тела
относительно
параллельной ей оси, проходящей через
центр масс тела, и произведения массы
тела
на
квадрат расстояния
между
осями:
где
— известный
момент инерции относительно оси,
проходящей через центр масс тела,
— искомый момент инерции относительно параллельной оси,
— масса тела,
— расстояние
между указанными осями.