53 Порядок проведения интервальной оценки, значение функции Лапласса при интервальной оценки.

Определение доверительного интервала для выборочного среднего арифметического значения измеряемой величины А при известной дисперсий σх² :

случайная величина (результат измерения) х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием т_х и дисперсией σх² . В этом случае выборочное распределение оценки среднего значения А также нормально и имеет то же математическое ожидание и дисперсию.

Если доверительные границы ∆1=∆2=А₂=z∙σх/√n, то доверительный интервалР{(А-z∙σх/√n ) < А < (А+z∙σх/√n )},где z — квантиль нормированного распределения Лапласа;n – количество измерений.Значения нормированной функции Лапласа Ф(z)=Р/2

z	Ф(z)	z	Ф(z)	z	Ф(z)	z	Ф(z)	z	Ф(z)
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0.5 0,6 0,7 0,8	0,00000 0,03983 0,07926 0,11791 0,15542 0,19146 0,22575 0,25804 0,28814	0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1.4 1,5 1,6 1,7	0,31594 0,34134 0,36433 0,38493 0,40320 0,41924 0,43319 0,44520 0,45543	1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6	0,46407 0,47128 0,47725 0,48214 0,48610 0.48928 0,49180 0,49379 0,49534	2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5	0,49653 0,49744 0,49813 0,49865 0,49903 0,49931 0,49952 0,49966 0,49977	3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,5	0,49984 0,49989 0,49993 0,49995 0,49997 0,49999

Результат измерений записывается в форме А ± ∆.

Если случайная величина х распределена по закону, отличному от нормального, то из следствий центральной предельной теоремы вытекает, что при увеличении объема выборки n выборочное распределение среднего значения выборки А приближается к нормальному распределению независимо от вида распределения исходной величины (данное утверждение справедливо, если измеряемая случайная величина обладает конечной дисперсией).

Нормальность выборочного распределения величины А приемлема во многих случаях при п > 4 и вполне хорошо оправдывается при п > 10.

54 Основные законы распределения случайных величин, используемые в метрологии.

Дискретной случайной величиной называют такую величину, возможные значения которой представляют собой конечную или бесконечную последовательность чисел. Чтобы охарактеризовать дискретную случайную величину, необходимо знать возможные ее значения и вероятность каждого из этих значений. В качестве примера рассмотрим ситуации, возникающие при бросании двух игральных костей. Сумма очков может принимать значения от 2 до 12. Вероятность разных значений суммы будет разная. Сумма 2 выпадет только при одной комбинации, 3 – при двух и т.д. Все возможные комбинации и соответствующие вероятности появления каждой из них сведем в таблицу:

Сумма очков	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Число возможных комбинаций	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1
Вероятность появления данной комбинации

Расположив возможные значения случайной величины по возрастанию на горизонтальной оси, а по вертикальной отложив вероятность их появления, получим график распределения случайной величины.

Если рассеяние результата измерений одной и той же физической величины постоянного размера является следствием множества причин, вклад каждой из которых незначителен по сравнению с суммарным действием всех остальных, то результат измерения при этом подчиняется так называемому нормальному закону, кривые плотности распределения вероятности которого описываются уравнением:

,где  р(х) – плотность вероятности;

х – значение случайной величины;

а=М(х) – математическое ожидание случайной величины х;

s – среднеквадратичное отклонение случайной величины х.

Математическое ожидание случайной величины – это сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих значений: .Для непрерывных случайных величин надо переходить к интегрированию:

.Математическое ожидание при нормальном распределении соответствует истинному значению измеряемой величины.

Дисперсия D(x) – мера рассеяния случайной величины. Для дискретной:

.Для непрерывной:

.Среднеквадратичное отклонение:

.

Среднеквадратичное отклонение удобнее дисперсии в том смысле, что ее размерность совпадает с размерностью самой случайной величины. Среднеквадратичное отклонение часто называют среднеквадратичной погрешностью.

Среднеквадратичное отклонение соответствует характерной точке кривой нормального распределения. Абсциссам +/-s соответствуют точки перегиба кривой. Вероятность того, что случайные погрешности измерения не выйдут за пределы +/-s, составляет 0,6826.Среднее арифметическое определяется по формуле: ,где  х – среднее значение,х_i – результат i-го наблюдения,N – число наблюдений.