Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Определение. Число называется собственным значением линейного оператора , если существует такой ненулевой вектор , что выполняется равенство: . При этом вектор  называется собственным вектором оператора .

 Уравнение можно представить в матричной форме, заменив оператор его матрицей А, а вектор ­ – его координатным столбцом Х. Перепишем его в более удобной форме:  где Е и О - соответственно единичная матрица и нулевой столбец. Это уравнение имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы равен нулю. Если  – элементы матрицы А, то определитель матрицы имеет вид:

(4)

Определитель в (4) называется характеристическим многочленом, а уравнение (4) – характеристическим уравнением матрицы  .

Уравнение (4) имеет степень  относительно неизвестной  . Его корни являются собственными значениями матрицы  . Определив набор этих чисел, для каждого из них можно найти соответствующий собственный вектор как ненулевое решение однородной системы

(5)

которая эквивалентна уравнению .

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного в некотором базисе матрицей .

Решение. Характеристическое уравнение этой матрицы имеет вид   , откуда, раскрывая определитель, получаем . Корни этого уравнения  ,  – собственные значения линейного оператора. Для нахождения собственных векторов подставим найденные собственные значения в систему однородных уравнений (5) при  , соответствующую заданной матрице  . Собственный вектор, соответствующий собственному значению  , является решением системы   . Так как уравнения линейно зависимы, то, отбрасывая одно из них и полагая  свободной переменной, получаем первый собственные векторы  , , . Подстановка второго собственного значения  приводит к системе уравнений которая через свободную переменную  определяет второе семейство собственных векторов матрицы  :  , , . Поскольку  и  – произвольные числа, отличные от нуля, то одному собственному значению соответствует бесконечно много собственных векторов различной длины.

Элементы аналитической геометрии

Координаты точки в декартовой системе координат. Координаты вектора

Декартовой системой координат в -мерном аффинном пространстве называется набор , где – точка этого пространства, – базис соответствующего пространства векторов. Точка называется началом координат, векторы – направляющими векторами координатных осей.

Координатами точки в декартовой системе координат называются координаты её радиус-вектора в базисе . Если и – координаты точек в системе координат , то – координаты вектора в базисе .

Расстояние между двумя точками

Декартова система координат в точечном евклидовом пространстве называется прямоугольной, если базис – ортонормированный. Расстояние между двумя точками и , заданными своими координатами в прямоугольной декартовой системе координат, вычисляется по формуле: .

Пример. Найти длину стороны и величину угла треугольника с вершинами , , .

Решение. ; ,

, ,

.

Деление отрезка в данном отношении

Говорят, что точка М делит отрезок АВ в отношении , если . Если точки и заданы своими координатами в декартовой системе координат, то координаты точки М, которая делит отрезок АВ в отношении определяются по формулам: .

Пример. Найти координаты точки М, делящей отрезок в отношении 2:1, если , .

Решение. .

Ответ: .

Параметрические и канонические уравнения прямой на плоскости и в пространстве

Прямую можно задать 1) направляющим вектором и точкой , лежащей на ней; 2) парой различных точек и , лежащих на этой прямой. Направляющий вектор прямой – это ненулевой вектор параллельный данной прямой или лежащий на ней.

П араметрические уравнения прямой с направляющим вектором , проходящей через точку , имеют вид: . Выражая из этих уравнений параметр и приравнивая, получаем канонические уравнения этой прямой: .

Параметрические уравнения прямой , проходящей через две точки и , имеют вид: . Канонические уравнения этой прямой имеют вид: . В этом случае вектор является направляющим вектором прямой .

В случае прямой на плоскости уравнения аналогичны, только остаются две координаты – и .

Пример. Записать параметрические и канонические уравнения медианы треугольника с вершинами , , .

Решение. Координаты середины отрезка имеют вид , где и – координаты концов этого отрезка. В нашем случае , т. е. . Запишем параметрические и канонические уравнения прямой как прямой, проходящей через две точки – и :

– параметрические уравнения прямой ;

– каноническое уравнение прямой .

Отметим, что вектор является направляющим вектором прямой .