- •32. Правило Лопиталя
- •12.Операция над пределами последовательностей.
- •13.Пределы функции в точке. Односторонние пределыв.
- •15.Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •16.Замечательные пределы.(I) зам предел: (II) зам предел : (III)зп: (IV)зп: (V) зп:
- •18.Непрерывность функции одной переменньой в точке .Односторонняя непрерывность
- •23 Точки разрыва функции и их классификация
- •32. Правило Лопиталя
- •33. Локальный и глобальный экстремум функции
- •35. Асимптоты графика функций.
- •36. Алгоритм полного исследования функции для построения её графика.
- •37. Функции двух переменных, геометрический смысл. Линии уровня поверхности.
- •38. Предел и непрерывность функции двух переменных.
- •39.Частные производные. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.
- •44.Исследование функции 2х перемен-ых на локальный экстремум.
- •49. Выделение целой части неправильной алгебраической дроби.
- •58.Определенный интеграл с переменным верхним пределом и его свойства
- •71.Простейшие св-ва рядов.Необходимый признак сходимости.
- •72.Признаки сх-ти рядов с положительными членами.
- •73.Знакопеременные ряды,абсолютная и условная сх-ти
- •74.Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.
- •75.Функциональные ряды.Нахождение области сх-ти функционального ряда.
- •76.Степенные ряды.Теорема Абеля.
- •77.Радиус и интервал сх-ти степенного ряда.
- •78.Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
71.Простейшие св-ва рядов.Необходимый признак сходимости.
Основные св-ва
1.Если все члены ряды умножить на одно и тоже число не равное 0,то это действие не влияет на сходимость ряда
2.Если к ряду вы прибавите конечное число слагаемых или удалить из него конечгое число членов ряда, сх-сть ряда не изменится.
Теорема (необход.признак сх-ти ряда)
Если ряд сх-тся то общий член ряда стремится к 0
Замечание.
Обратное утверждение к теор.вообще говоря не верно:из того что общий член ряда стремится к 0
Примеры =1+ + + +…+ +… гармонический ряд расх-ся
Un=1/n 0 при n 0
2) =1+ + + ряд сх-ся Un=
72.Признаки сх-ти рядов с положительными членами.
Закономерным положительным рядом наз-ся числовой ряд ,где
Теорема (критерий сходимости положительного ряда)
Для того чтобы ряд с положитедьными членами сх-ся н. и д. чтобы послед-сть частичных сумм этого ряда была ограничена сверху конечными числами.
Признаки сравнения 1) ,
2) ,
Теорема(признак сх-ти положительных рядов)
Пусть общие ряды 2 и 3 связаны неравенством
Если ряд 3 с большими членами сх-ся то ряд 2 с меньшими чл.расх-ся.
Если ряд 2 с меньшими чл. Расходится ,то расходится ряд 3 с больш.чл.
Тер.(предельный признак сх-ти рядов)
Пусть для чл. положит.рядов 2 и 3 =L( ,тогда оба ряда ведут себя одинаково,т.е.оба сх-ся или расх-ся одинаково.
В качестве рядов сравнения выбираем один из двух эталонов рядов
1) сх-ся при 0
Расх-ся при q
2)
ряд расх-ся при
Признаки сравнения удобно применять к рядам вида , ,
Предельный признак удобно применять к рядам ,общие члены к-ых яв-ся многочл-ми по n.
Теорема(Признак Даламбера)
Пусть для полож.ряда 2
Если то ряд 2 сх-ся,если Д то ряд 2 расх-ся
Замечание
1.при Д=1 вопрос о сх-ти ряда остается открытым
2.если общ.чл. ряда представляет собой отношение многоч-ов по n,то для таких рядов Д=1,таким признак Даламбера не применяется
3.признак Даламбера применяется к рядам общ.чл. к-ых содержат
-показательную функции.
-факториалы
-накативиющиеся множители
Теорема (радикальный признак Коши)
Пусть для членов положит.ряда 2 К=
Если К то ряд 2 сх-ся,К расх-ся
Замечание
1.При К=1 вопрос о сх-ти ряда остается открытым
2.
3.Радикальный признак Коши применим к рядам общ.чл.к-ых содержат
-показ.ф-ции,степенно показ.ф-цию по n
Теорема (Интегральный признак Коши-Маклорена)
Пусть ф-ция f(x) удовлетворяет условиям
1)f(x) оредел.и непрерыв.на [1,
2)f(x)
3)f(x)
4)f(x)=
Если не собст.интеграл сходится то сх-ся ряд 2.если несобств.интеграл расх-ся то расх-ся ряд2
73.Знакопеременные ряды,абсолютная и условная сх-ти
Ряд (3) наз-ся знакопеременным если он содержит положит и отриц члены.
Составим ряд из модулей членов ряда (3) (4)
Ряд 4 положительный и к нему можно применить достаточные признаки сх-сти полож.рядов.
Теорема
Если ряд из модулей 4 сх-ся то сх-ся ряд 3.
Опр.1знакоперемен. ряд 3 наз-ся абсолютн сходящимся
если сх-ся 4 составлен. из модулей его членов.
Из теоремы следует что абсолютная сх-сть ряда влечет за собой обычную сх-сть ряда.
Опр.2 закономерн.ряд 3наз-ся условно-сходящимся если он сам сх-ся а ряд составленный из модулей его членов расх-ся.