20.Решение систем олду с пост. Коэфф.

{O}ур-я вида {dx₁/dt=a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n ; dx₂/dt=a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n; dx_n/dt=a_n1x₁+a_n2x₂+…+a_nnx_n} (1) система ЛСДУ с пост. коэфф. Решение (1) имеет вид x_i=α_ie^kt где α_i и k неизв. пост. Подставим в систему (1) dx₁/dt=kα_ie^kt и система ур-й {(a₁₁-k)α₁+a₁₂α₂+…+a_1nα_n=0 ; a₂₁α₂+(a₂₂–k)α₂+…+a_2nα_n=0 ; a_n1α_n+a_n2α₂+…+a_1nα_n=0} (2) – однородная алгебр. система линейных уравнений относительно неизв. α_i. Нетривиальное решение α_i=/=0 если |a₁₁-k a₁₂…a_1n ; a₂₁ a₁₂-k…a_2n ; a_n1 a_n2…a_nn-k|=0 Этот определитель называется характерист. ур-ем относительно k для системы ур-й (1). Если раскрыть опред. порядка n, то получим алгебр. ур-е степени n относительно k. После нахожд. решения х.у n корней, каждый подставим в систему ур-й (2) и решаем эту систему относ. α₁, α₂,…, α_i для каждого из корней. После этого общее решение в виде x_i=c₁α_i⁽¹⁾e^x1t+ c₂α_i⁽²⁾e^x2t+…+ c_nα_i⁽ⁿ⁾e^xnt i=1,2,…,n.