9.{T} существования и единственности ду n-го. Задача Коши. Определение общ. Решения.

{Т}Если ф-ция F(x,y,y'…y^n-1) непрерывна в области D и непрерывна в D частная производная f/y, f/y’, f/y^(n-1), то в каждой точке (x₀,y₀,y₀’…y₀^(n-1)) области D существует решение ур-я (1) и притом единственное. Решение (1) с заданным начальным условием (2) называется задачей Коши (или частным решением ур (1)). Общее решение ур-я (1)-мн-во всех решений ур-я (1).

10.Простейшие случаи решения ур-я методом пониж. Порядка.

1) y⁽ⁿ⁾=f(x) нахождение решения n раз проинтегрировать. 2) f(x,y,y^(k+1),y^k)=o замена z(x)=y^k 3) f(y,y’,…,yⁿ) замена z(y)=y’, y’’=dz(y)/dx=dzdy/dydx=(dz/dy)z. ДУ не содержит в явном виде независимой переменной x.

11.ЛДУ n-го. Свойства линейного оператора.

{O}ЛДУ-n называется ур-е вида yⁿ+Q(x)y^(n-1)+…+Q_n-1(x)y’+Q_n(x)y=F(x) (1)где Q-коэффициенты ур-я и непрерывные ф-ции на [x₁,x₂] F(x)-правая часть ур-я (1) также непрерывная ф-ция на [x₁,x₂]. {O}Ур-е (1) при F(x)=/=0 называется НЛДУ т.е yⁿ+a₁(x)y^(n-1)+…a_n-1(x)y’+a_n(x)y=F(x) {O}Ур-е (1) при F(x)=0 назывантся ОЛДУ-n-го. Если ур-е (1) записать в виде yⁿ= a₁(x)y^(n-1)+…+a_n-1(x)y’+a_n(x)y+F(x) то применим к нему теорему сущ. и ед., можно убедиться, что такое ур-е удовлетворяет всем условиям этой теоремы ур-е (1) всегда имеет 1-о решение. {Свойства ЛДО} Пусть y₁, y₂-ф-ции определённые на нек. отрезке [A,B] тогда справедливо равенство L[c₁y₁+c₂y₂]=c₁L[y₁]+c₂L[y₂], (2)где с₁ с₂-постоянные.{Д}L[c₁y₁+c₂y₂]=( c₁y₁+c₂y₂)ⁿ+ a₁(x)( c₁y₁+c₂y₂)^(n-1)+…+ a_n-1(x)( c₁y₁+c₂y₂)^’+ a_n(x) (c₁y₁+c₂y₂)={т.к. произведение суммы = сумме произведений и пост. коэффиц. Можно вынести за знак производной}= c₁y₁ⁿ+c₂y₂ⁿ+…+ a_n(x) (c₁y₁+c₂y₂)= c₁L[y₁]+c₂L[y₂].1)L[y]=0 из свойств линейного оператора(2) Если y₁, y₂-какие-либо решения ур-я (2) то y=c₁y₁+c₂y₂-также решения ур-я (2), то L[y]=L[c₁y₁+c₂y₂]= c₁L[y₁]+c₂L[y₂]=0 из L[y]=0-решение ур-я. Если y=ux+iv(x)-решение ур-я (2) то u(x) и v(x)- также решения ур-я L[y]=L[u(x)+iv(x)]=L[u]+iL[v]=0  L[u]=0, L[v]=0-решения ур-я.

12.Определение лин. Нез. Системы ф-ций. Примеры.

{O}Ф-ции y₁, y₂…y_n опред. на отрезке [A B] называются линейнозависимыми на отрезке [A B], если равенство α₁y₁(x)+ α₂y₂(x)+…+ α_my_m(x)=0 (1) выполняется  x[A B] хотябы при одном αi=/=0{O}Если равенство (1) справедливо только при всех α₁=α₂=…=α_m=0 то y1,y2_.,…,y_m - называется линейнонезависимыми на [A B].{Примеры} 1) При ф-йии 1,x,x²,…,x^m- линейно независима на любом отрезке [A B]. {Д} α_mx^m+…+ α₂x²+ α₁x+ α₀=0 (2) Предп. пусть эти ф-ции линейно зависимы, т.е. по опред. сущест. хотя бы одно α_i=/=0 например α_m=/=0. тогда (2)- алгебраич. ур-е в степени m, из основной теоремы алгебры (ур-е в степени m имеет m корней) , что равенство (2) выполняется не более чем в m точках отрезка [A B] а это нарушает опред. линей. зависимости  предположение о линейной зависимости неверно.2) e^{k1 x}, e^{k2 x},…,e^{km x} ,при k₁=/=k₂=/=…=/=k_m- лин. нез. на любом отрезке. {Д} α₁e^{k1 x}+ α ₂e^{k2 x}+…+ α _me^{km x}=0 (3) Пусть ф-ции линецно независимые т.е хоть одна α_i=/=0 в (3) например α_m=/=0 в (3) {делим на e^{k1 x}} α₁+ α ₂e^(k2-k1)x+…+ α _me^(km-k1)x=0 (4) {дифф. (4)}  α₂(k2-k1)e^(k2-k1)x+…+ α _m (km-k1)e^(km-k1)x=0(5) {делим на e^(k2-k1)x } α₂(k2-k1) +…+ α _m (km-k1)e^(km-k1)x=0{дифф выражение} α _m (km-k1) (km-k2)… (km-km-1)e^(km-km-1)x в полученном равенстве в левой части ни один из сомножетелей =/=0 т.к. α_m=/=0 k₁,k₂,…,k_m=/=0 по условию  полученное равенство неверно т.е. предположение о линейной зависимости неверно.3){e^{k1 x},xe^{k1 x},x²e^{k1 x},…,x^me^k1 x ; e^{k2 x},xe^{k2 x},x²e^{k2 x},…,x^me^{k2 x} ;…; e^{kn x},xe^{kn x},x²e^{kn x},…,x^me^{kn x} } линейнонезависим на любом отрезке [а b] определитель вида W(x)=|y₁,y₂,…,y_n ; y₁’,y₂’,…,y_n’ ; y₁^(n-1),y₂^(n-1),…,y_n^(n-1) | для систем ф-ций y₁,y₂,…,y_n на [а b]