17. Структура общ. Реш. Нлду n-го.

{T}Общим решением ур-я L[y]=F(x) (1) является ф-ция ция y=c₁y₁+c₂y₂+…+ c_ny_n+y_н (2) где y₁,y₂,y_n-система фундамент. решений. С_i-произв. пост. y_н частное решение ур-я y⁽ⁿ⁾+a₁(x)y^(n-1)+…+a_n-1(x)y’+a_n(x)y=F(x) (3) {Д}Ур-е (1) удовлетв. теореме сущ. и ед. решения при заданных нач. условиях y(x₀)=y₀; y’(x₀)=y₀’; …; y^(n-1)(x₀)= y₀^(n-1) запишем (2) при заданных нач. условиях { c₁y₁(x₀)+c₂y₂(x₀)+…+ c_ny_n(x₀)+y_н(x₀)=y₀; c₁y₁’(x₀)+c₂y₂’(x₀)+…+ c_ny_n’(x₀)+y_н’(x₀)=y₀’;…; c₁y₁^(n-1)(x₀)+c₂y₂^(n-1)(x₀)+…+ c_ny_n^(n-1)(x₀)+y_н^(n-1)(x₀)=y^(n-1)} (4) Система алгебраич. НУ с n неизвеслн. относительно c₁,c₂,…,c_n . Т.к по теореме о лин. нез. решениях однород. ур-я W(x)=/=0, то имеет ед. решение (т. Крамера) по зад. нач. условию однозначно опред. все c_i т.е (2) общее решение. Чтобы найти общее решение НЛДУ необходимо 1) найти общ. реш. соответств. однородному ур-ю. 2)Какое-либо частное решение НЛДУ. y= ŷ+y_н.

18. Метод вариации произв. Пост.

{O} Пусть известно общее решение ŷ=c₁y₁+c₂y₂+…+ c_ny_n соотв. ДУ, частное решение y_н ур-я y⁽ⁿ⁾+a₁(x)y^(n-1)+…+a_n-1(x)y’+a_n(x)y_n=F(x)(1) будет в виде y_н=c₁(x)y₁+c₂(x)y₂+…+ c_n(x)y_n (2) где c_i(x) – n неизвестных ф-ций. Найдём c_i(x) так, чтобы y_н удовлет. ур-ю (1), подстамим y_н в ур-е (1), найдём производные от (2) y_н=c₁'(x)y₁+ c₁(x)y₁’+c₂’(x)y₂+c₂(x)y₂’+…+ c_n’(x)y_n+c_n(x)y_n’ Выберем n-1 усл. из принципа простоты нахождения c_i(x) для этого потреб. условие: c₁'(x)y₁+c₂’(x)y₂+…+ c_n’(x)y_n=0(3) нах. 2-ю производную y_н''=c₁(x)y₁’’+с₁'(x)y₁'+c₂(x)y₂’’+c₂’(x)y₂’+…+c_n(x)y’’+с_n'(x)y_n'+c_n(x)y_n’’, с₁'(x)y₁'+ с₂'(x)y₂'+…+с_n'(x)y_n'=0 (4) y^(n-1)=с₁(x)y₁^(n-1)+с₂(x)y₂^(n-1)+...+с_n(x)y_n^(n-1), y⁽ⁿ⁾=с₁'(x)y₁^(n-1)+с₁'(x)y⁽ⁿ⁾+с₂'(x)y₂^(n-1)+…+с_n’(x)y_n^(n-1) +с_n(x)y_nⁿ производные подставим в ур-е (1), после подстановки (всё сократиться) получим с₁'(x)y₁^(n-1)+с₂'(x)y₂^(n-1) +…+с_n’(x)y_n^(n-1)=F(x) (5) составим систему для нахождения коэффициентов {с₁'(x)y₁+ с₂'(x)y₂+…+с_n'(x)y_n=0 ; с₁'(x)y₁'+ с₂'(x)y₂'+…+с_n'(x)y_n'=0 ;…; с₁'(x)y₁^(n-1)+ с₂'(x)y₂^(n-1)+…+с_n'(x)y_n^(n-1)=F(x) } – относительно неизв. производ. ф-ции, получается алгебраическая система ДУ относительно c₁,…,c_n. W(x₀)=/=0система имеет одно реш.

19. Методы нахождения частных решений нлду n-го со спец. Правой часть.

{O} y⁽ⁿ⁾+a₁(x)y^(n-1)+…+a_n-1(x)y’+a_n(x)y_n=L L=e^px[P_m(x)cosq(x)+Q_l(x)sinq(x)] (1) где P q m l – параметры правой части. P_m(x), Q_l(x) мн-член соотв. степени. докажем что част. реш. можно искать в виде y=x^se^px[R_t(x)cosq(x)+S_t(x)sinq(x)] где R_t(x), S_t(x) мн-член степени t=max(m,l) определим s :1) Пусть p=0 q=0 L[y]=P_m(x)=y⁽ⁿ⁾+a₁(x)y^(n-1)+…+a_n-1(x)y’+a_n(x)y_n=A₀x^m+A₁x^m-1+…+A_m-1x+A_m (3) Пусть a_n=/=0 ищем решение y_н в виде y_н=R_m(x)=B₀x^m+B₁x^m-1+…+B_n-1x+B_m где В- неопред. коэфф. находится подбором. (метод вар. прои. пост.) 2) Пусть (3) имеет вид y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+…+a_n-s(x)y^(s)=A₀x^m+…+A_m a_n-s=/=0 понизим порядок ур-я заменой y(s)=z(x) z^(n-s)+a₁z^(n-s)+…+a_n-s=P_m(x) получим ур-е случая 1), z=R_m(x) y^(s)=R_m(x)=|интегрируем s раз (пониж. поряд.| y=x^sR_m(x) т.е. y_н=x^sR_m(x) m=t.{случаи} 1} p=0 q=0 Если a_n=/=0 y_н=R_t(x) t=m a_n=a_n-1=…=a_n-s+1=0 то y_н=x^sR_t(x) Если коэфф. a₁=const тогда y=e^kx kⁿ+a₁k^n-1+…+a_n-1k+a_n=0 Если a_n=/=0 то k=/=0 y_н=R_t(x)(2) a_n=a_n-1=…=a_n-s+1=0 Þ kⁿ+a₁kⁿ+…+a_n-1k^s=0 k=0 кратн. Sy_н=x^sR_t(x) (3) 2} p=/=0 q=0 yⁿ+a₁y^(n-1)+…+a_n-1y’+a_ny=e^pxP_m(x) (4) y=e^pxz(x) (5) y’=pe^pxz+e^pxz’ Подставляем в (5) все производные ур-я (4) и сокращаем zⁿ+bz^n-1+…+b_n-1z’+b_nz=P_m(x) (6) Где b_i – новые коэффициенты.(6)сводится к случаю 1}Þ Если b_n=/=0 а у нас b_n=/=0, то решение ищем если s=0 Сведём всё к сравн. х.у с параметрами ур-я (p^ex(R_m(x)cosq(x)+S_l(x)sinq(x)) для ур-я (6) напишем х.у , сделаем подстановку z=e^Ќx (7) свяжем Ќ и k из (1) (5) (7) Þ e^kx=p^pxe^ЌxÞ k=p+ Ќ Þ Ќ=k-p (8) рассмотрим (6) а) b_n=/=0 т.е Ќ=/=0Þиз (8) корень х.у k=/=p Или p=/=k z_н=R_t(x) (t=m) из (5) Þy_н=e^pxR_t(x) для того, чтобы ур-ю (4) написать формулу частного решения неопред. ур-я в случаи когда козфф. p=/= корню х.у то у_н=e^pxR_t(x) t=m. б) b_n=b_n-1=…=b_n-s+1=0 в этом случаи х.у для z будет иметь корень Ќ=0 кратности s : Ќⁿ+b₁Ќ^n-1+…+b_n-1Ќ^s=0Þ|из (8)| что p- корень х.у для (4) кратности s а само решение z_n=x^sR_t(x) (см случ. 1}) из (5) получим y_н=х^se^pxR_t(x) общее правило сост. частного решения для 1} и2} y_н=х^se^pxR_t(x) где s=0 если p не явлчется корнем х.у s=s если p корень х.у кратности s R_t(x) многочлен степени t=max(m l) c неопр. коэфф. 3} y⁽ⁿ⁾+a₁(x)y^(n-1)+…+a_n-1(x)y’+a_n(x)y_n=e^px[P_m(x)cosq(x)+Q_l(x)sinq(x)] (9) сведём этот случай к случаю 2} из ур-я ЭйлераÞcosqx=(e^iqx+e^-iqx)/2, sinqx=(e^iqx+e^-iqx)/2i подставим в ур-е(9), и сгрупп. члены, приходим к ур-ю y⁽ⁿ⁾+a₁(x)y^(n-1)+…+a_n-1(x)y’+a_n(x)y=Ṗ_te^(p+iq)x+Ǭ_te^(p-iq)x (10) где t=max(m l) из св-ва 2} НЛДУ n-го порядкаÞy=y₁+y₂ где y₁ решение ур-я (10) с Ṗ_te^(p+iq)x, а y₂ – реш. с Ǭ_te^(p-iq)x т.е y_н=R_t(х)е^(p+iq)x+T_t(х)е^(p-iq)x (11) если p+iq=r не корень х.у (см случ. 2}) и y_н=x^s[R_t(x)е^(p+iq)x+T_t(x)е^(p-iq)x] (12) если r=p+-iq- корень х.у крат. s. Преобразуем (11) (12) в решение записанное в действ. виде е^(p+-iq)x=e^px(cosq(x)+sinq(x)) подставим в (11) (12) получим y_н=x^se^px[Ř_t(x)cosq(x)+Ť_t(x)sinq(x)]- частное решение.