1.3 Зависимость теплоемкости от температуры

При повышении температуры газа колебательные движения атомов в молекуле усиливаются, на что расходуется все большее и большее количество энергии. Следовательно, на чем выше температура, тем больше теплоты приходится расходовать для нагрева на 1 град. Таким образом, теплоемкость газа не постоянная величина, а представляет собой функцию температуры. В общем случае теплоемкость для температуры t может быть представлена уравнением

(19)

где теплоемкость при ;

a, b, d – постоянные коэффициенты.

Так как коэффициенты b, d весьма малы и влияние на значение cчленов с температурой в степени выше первой весьма мало, то для технических расчетов часто принимают линейную зависимость теплоемкости от температуры и выражают ее формулой

(20)

На рисунке 1 представлен график зависимости теплоемкости от температуры.

Рисунок 1– График зависимости теплоемкости от температуры

В следствие того, что теплоемкость зависит от температуры, расход теплоты для одинакового повышения температуры меняется: чем выше начальная температура нагрева, тем больше теплоты надо израсходовать для одинакового повышения температуры. Это ясно видно на рисунке 2, где заштрихованные площади трапеций представляют собой расход теплоты при нагревании газа от до , и от до , причем равно

Рисунок 2 Рисунок 3 – Прямая, характеризующая истинную теплоемкость газа

Если для определения теплоемкостей даются формулы для средней теплоемкости, то по ним можно получить формулы для средней теплоемкости.

Пусть имеем для истиной теплоемкости

требуется получить формулу средней теплоемкости в пределах от до

Из (1) имеем для 1 кг газа

Интегрирование в пределах от до дает

или

Используя уравнение (10) находим

(21)

Этот вывод весьма просто объясняется рисунком 3. На рисунке дана прямая, характеризующая истинную теплоемкость газа. Требуется найти среднюю теплоемкость в пределах и Теплота, расходуемая при нагреве газа от до , представляется площадью заштрихованной трапеции, средняя теплоемкость в пределах температур и представляет собой среднюю линию трапеции, т.е. полусумму нижнего и верхнего оснований трапеции, что приводит при подсчете к формуле (21).

Если теплоемкость задана формулой средней теплоемкости, то коэффициент при t уже разделен на 2, и, следовательно, в эту формулу надо подставлять сумму заданных начальной и конечной температур. При использовании формул теплоемкости, взятых из справочников, прежде всего следует обратить внимание на то, для каких условий дана эта формула. В таблице 1 приводятся формулы средней теплоемкости для некоторых газов [1], [2].

Новейшие опытные данные по теплоемкостям, полученные спектроскопическим путем, даются в таблицах, так как обработка данных в виде формул приводит к очень сложным результатам.

Расчет расхода теплоты по этим данным производится следующим образом (Рисунок 3).

Таблица 1 – Формулы средней теплоемкости для некоторых газов

Газ
Воздух

Требуется найти расход теплоты для нагрева газа от до , если известны только средние теплоемкости в пределах от до С. Следовательно, требуется найти площадь трапеций OacdO иOabcO, представляющих соответственно теплоту , расходуемую на нагрев газа от С до и теплоту, расходуемую для нагрева того же газа от до Таким образом, площадь трапеции bcdeb определит теплоту , необходимую для нагревания газа от до . Следовательно,

где

Теплота, необходимая для нагревания газа от до , равна

(22)

В этой формуле и заданы, а и находятся по таблицам теплоёмкостей.

Средняя теплоемкость в пределах от до определяется из уравнения (21)

(23)

1.4 Теплоемкость газовой смеси

В теплотехнических расчетах необходимо знание теплоемкости газовой смеси (расчет процессов горения и т. п.). Формула, определяющая теплоемкость газовой смеси, составляется по данным о составе смеси и формулам теплоемкости компонента.

Если задан массовый состав смеси, то необходимо иметь формулы массовых теплоемкостей компонентов

с₁ = с₀₁ + а₁t,

с₂ = с₀₂ + а₂t.

Для одного кг смеси доли компонентов определяют их массу в смеси, следовательно

с = q₁с₁ + q₂с₂ + … = ∑ q_iс_i (24)

или, подставляя формулы теплоемкости компонентов, можно получить

. (25)

Если задан объемный состав смеси, то могут быть использованы формулы объемной теплоемкости, которые на основании зависимости (4) для i-того газа имеют вид

.

Следовательно,

(26)

или после подстановки формул теплоемкости

(27)