60. Система уравнений Максвелла в интегральной форме

1. Электрическое поле может быть как потенциальным (e_q), так и вихревым (Е_B), поэтому напряженность суммарного поля Е=Е_Q+Е_B. Так как циркуляция вектора e_q равна нулю, то циркуляция вектора напряженности суммарного поля

Это уравнение показывает, что источниками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и меняющиеся во времени магнитные поля.

2. Обобщенная теорема о циркуляции вектора Н:

Это уравнение показывает, что магнитные поля могут возбуждаться либо электрическими токами, либо переменными электрическими полями.

3. Теорема Гаусса для поля D: Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью , то формула (139.1) запишется в виде

4. Теорема Гаусса для поля В :

Итак, полная система уравнений Максвелла в интегральной форме:

Величины, входящие в уравнения Максвелла,

не являются независимыми и между ними существует следующая связь: D=₀E, В=₀Н, j=E, где ₀ и ₀ — соответственно электрическая и магнитная постоянные,  и  — соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости,  — удельная проводимость вещества.

61. Система уравнений Максвелла в дифференциальной форме

Переход к дифференциальной форме осуществляется с помощью теоремы Остроградского-Гаусcа и теоремы Стокса где А произвольный вектор, а  (дельта) – дифференциальный оператор равный

Используя эти теоремы, получим

Из последних частей этих равенств получим

Полная система уравнений Максвелла в дифференциальной форме (характеризующих поле в каждой точке пространства):

62. Плотность потока энергии электромагнитных волн. Вектор Умова-Пойтинга

Объемная плотность энергии электрического поля = /2, магнитного поля = μμ /2. = т.е. /2= μμ /2. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получим . Плотность энергии электромагнитного поля складывается из составляющих w = + = εε₀ /2 + μμ /2. Представляя как и как , получим . Умножим и разделим первое слагаемое на , а второе на , . Производим необходимые сокращения и в результате получим .

Поскольку - скорость распространения электромагнитной волны, то w = (1/ u) Е Н. Умножив найденное выражение для w на скорость волны u, получим модуль вектора плотности потока энергии S = wu = . Векторы и перпендикулярны и образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему. Следовательно, вектор плотности потока электромагнитной энергии можно представить как векторное произведение и , так как направление вектора совпадает с направлением переноса энергии, а модуль этого вектора равен . Таким образом

Вектор называется вектором Умова -Пойнтинга. Физический смысл вектора Пойнтинга: плотность потока электромагнитной энергии, распространяющейся вместе с волной, ‑ это количество энергии, проходящей за единицу времени через единицу площади воображаемой площадки, расположенной перпендикулярно к направлению распространения волны.