51. Переходные процессы в цепях с емкостью и индуктивностью

Процессы при переходе от одного установившегося в электрической цепи режима к другому называются переходными. Примером таких процессов является зарядка и разрядка конденсатора. Такие токи и соответствующие им поля называются квазистационарными.

Разрядка конденсатора при отключении от источника э.д.с.

Если обкладки заряженного конденсатора ёмкости С замкнуть через сопротивление R, то через него потечёт ток.

Считая ток I положительным, когда он течёт от положительной обкладки к отрицательной, запишем I = -dq/dt. Согласно закону Ома для внешнего участка цепи, содержащего сопротивление R: RI = U. Учитывая, что I = -dq/dt и U = q/C, преобразуем предыдущее уравнение к , получим , где U0 = q0/С и q0 – начальные напряжение и заряд на конденсаторе, а τ – постоянная, имеющая размерность времени и называемая временем релаксации (постоянной времени): τ = RC. τ есть время, за которое заряд конденсатора уменьшается в е раз.

Продифференцировав по времени, найдём закон изменения тока:

где I0 = q0/τ – сила тока в момент t = 0.

Зарядка конденсатора при подключении к источнику э.д.с.

Применим закон Ома для неоднородного участка цепи: RI = φ1 – φ2 +E, где под R понимается полное сопротивление этого участка, включая внутреннее сопротивление источника э. д. с.

Учитывая, что I = dq/dt и φ2 – φ1 = U = q/C, перепишем предыдущее уравнение в виде получим откуда Закон изменения тока со временем где I0 = E /R.

Переходный процесс в цепи с индуктивностью при отключении от источника э.д.с.

В момент t = 0 ток через индуктивность L начнёт убывать, а это значит, что возникнет э.д.с. самоиндукции Es = - LdI / dt, противодействующая по правилу Ленца убыванию тока.

В каждый момент ток в цепи будет определяться законом Ома I = Es/R, или разделив переменные, получим

Интегрирование этого уравнения по I и t даёт ln(I/I0) = -Rt/L,

Или I = I0e^-t/τ где τ – постоянная, имеющая размерность времени, τ = L/R.

Переходный процесс в цепи с индуктивностью при подключении к источнику э.д.с.

Согласно закону Ома RI = E + Es, или RI = E – L(dI/dt).

Перенесём E в левую часть уравнения и введём новую переменную u = RI – E, du = RdI.

После этого полученное уравнение преобразуется к виду

du/u = - dt/τ, где τ = L/R – постоянная времени.

Интегрирование по u (от – E до RI – E) и по t (от 0 до t) даёт ln[(RI – E)/(-E)] = -t/τ или I = I0 (1 – e-t/τ), где I0 = E /R - установившийся ток при t → ∞.

52. Взаимная индукция

Если ток I₁ изменяется, то в контуре 2 индуцируется э.д.с. ξ_i2, созданного током в первом контуре и пронизывающего второй:

Аналогично, при протекании в контуре 2 Ф₁₂ =L₁₂I₂

Явление возникновения э.д.с. в одном из контуров при изменении силы тока в другом называется взаимной индукцией. Коэффициенты пропорциональности L₂₁ и L₁₂ называются взаимной индуктивностью контуров. Расчеты, подтверждаемые опытом, показывают, что l₂₁ и L₁₂ равны друг другу, т. е. L_I2 = L_2I.

Индуктивность двух катушек, намотанных на общий тороидальный сердечник. Магнитная индукция поля, создаваемого первой катушкой с числом витков N₁, током I₁ и магнитной проницаемостью , сердечника, согласно, B=₀N₁I₁/l, где l — длина сердечника по средней линии. Магнитный поток через один виток второй катушки Ф₂=BS=₀(N₁I₁/l)S Тогда полный магнитный поток (потокосцепление) сквозь вторичную обмотку, содержащую N2 витков, Поток  создается током I₁, получаем Если вычислить магнитный поток, создаваемый катушкой 2 сквозь катушку 1, то для L₁₂ получим выражение в соответствии с формулой. Таким образом, взаимная индуктивность двух катушек, намотанных на общий тороидальный сердечник,

Тогда работа по созданию магнитного потока Ф будет равна

Следовательно, энергия магнитного поля, связанного с контуром, W=LI²/2.

Однородное магнитное поле внутри длинного соленоида.

Получим Так как I=Вl/(₀N) (см. (119.2)) и В=₀H, то где Sl=V — объем соленоида.

Магнитное поле соленоида однородно и сосредоточено внутри него, поэтому энергия заключена в объеме соленоида и распределена в нем с постоянной объемной плотностью

Магнитная энергия контура с током

A=W=LI²/2