1. Применимость методов безусловной оптимизации. Задача обслуживания на 1 приборе.

Одну и ту же задачу оптимизации можно реш. разл. методами. Их может быть несколько десятков, поэтому их разбивают на классы. Методы делятся на прямые и непрямые. Непрямой метод–такой,в кот. экстремальная зад. сводится к некоторой др. математич. задаче, например, алгебраической – нахождение стационарных точек. Мы, в основном, будем рассматривать прямые методы.

Пусть дана задача: (1) и пусть задано начальное приближение . В прямых методах строится последовательность:

(2) в кот. – направление итерации, – шаг в этом направлении.Шаг и направление выбирают,чтобы выполнялось нерав-во: . Иногда и можно подобрать, так, чтобы послед-сть являлась минимизирующей. Обычно в каждом методе задаётся малая величина , кот. служит для прекращения итерации и определяет точность метода. Прекращение итерации обычно осуществл. с помощью проверки одного из условий:

1

2

3

Если условие прекращения итерации выполнено, то принимается в качестве приближённого решения задачи.

Методы делятся на детерминированные и стохастические. Если и вычисляются по определённым формулам, то метод называется детерминированным, а если для их построения используются механизмы теории вероятности, то метод называется стохастическим.

Метод называется методом -го порядка, если для вычисления направления и шага итерации используются производные от параметров задачи до -ой включительно. Если =0, то такой метод называется методом поиска или перебора.

Методы делятся на конечные и бесконечные. Метод называется конечным, если за конечное число итераций удаётся в точности найти оптимальный план.

Методы делятся на точные и приближённые. В точных методах на итерациях преобразуются планы, то есть . В приближённых методах могут лежать в -окрестности планов.

Методы также различают по использованию ресурсов ЭВМ, объёму памяти, быстроте нахождения решения и так далее.

2. Общая схема метода ветвей и границ. Задача о рюкзаке.

Метод ветвей и границ явл. одним из самых популярных методов перебора, кот. позволяет сокращать объём перебираемых планов за счёт исключения бесперспективных подмн-в планов, т.е. таких, кот. заведомо не содержат реш-я.

Метод применяют к зад.: ,(1) .

Общая схема. В методе на каждой итерации строится список из перспективных подмн-тв, одно из кот., по крайне мере содержит оптимал. план. На нулевой итерации . Вычисляем оценку итерации , рекорд итерации .

Вычисляем разность . Возможны случаи:

1. . В этом случае рекордный план будет оптимальным планом задачи, так как на нём достигалась нижняя граница.

2. , где -малое положит. число, заданная точность вычисления. В этом случае рекордный план можно взять в качестве - оптимального, т.е. приближённого реш-я задачи (1).

3. . Тогда заданная точность не достигнута. Переходим к первой итерации. Для этого в соответствие с первым предположением ветвим на более мелкие. Для каждого вычисл. границу по второму предположению, и бесперспективные подмн-ва отбрасываем,а перспективные включаем в список для 1-вой итерации.

Постановка зад. о рюкзаке. Имеется неделимых предметов и для каждого предмета известно его вес и стоимость. Требуется некоторую часть этих предметов уложить в рюкзак, причём так, чтобы их суммарная стоимость была не меньше , и вес рюкзака был минимальным.

Математическая модель. Введём неизвестные

тогда ограничения по стоимости будут: . Целевая функция: . Для реш. этой задачи эффективен метод ветвей и границ.